概率论第四章习题解答1（1）在下列句子中随机地取一个单词，以X表示取到的单词所饮食的字母个数，写出X的分布律并求数学期望()EX。“THEGIRLPUTONHERBEAUTIFULREDHAT”（2）在上述句子的30个字母中随机地取一个字母，以Y表示取到的字母所在单词所包含的字母数，写出Y的分布律并求()EY（3）一人掷骰子，如得6点则掷第二次，此时得分为6加第二次得到的点数；否则得分为第一次得到的点数，且不能再掷，求得分X的分布律。解（1）在所给的句子中任取一个单词，则其所包含的字母数，即随机变量X的取值为：2,3,4，9，其分布律为所以151115()234988884EX。（2）因为Y的取值为2,3，4，9当2Y时，包含的字母为“O”，“N”，故121{2}3015CPY；当3Y时，包含的3个字母的单词共有5个，故当4Y时，包含的4个字母的单词只有1个，故当9Y时，包含的9个字母的单词只有1个，故112314673()234915215103015EY。（3）若第一次得到6点，则可以掷第二次，那么他的得分为：X＝7,8，9,10，11,12；若第一次得到的不是6点，则他的得分为1,2，3,4，5。由此得X的取值为：1，2，3，4，5，7，8，9，10，11，12。X123457891011122某产品的次品率为0.1，检验员每天检验4次，每次随机地取10件产品进行检验，如果发现其中的次品多于1，就去调整设备。以X表示一天中调整设备的次数，试求()EX。（设诸产品是否为次品是相互独立的。）解（1）求每次检验时产品出现次品的概率因为每次抽取0件产品进行检验，且产品是否为次品是相互独立的，因而可以看作是进行10次独立的贝努利试验，而该产品的次品率为0.1，设出现次品的件数为Y，则(10,0.1)YB，于是有234923491010{}(0.1)(0.9)kkkPYkC（2）一次检验中不需要调整设备的概率则需要调整设备的概率{1}1{}10.736PYPY（3）求一天中调整设备的次数X的分布律由于X取值为0，1，2，3，4。0.2369p，则(4,0.2369)XB于是0044{0}(0.2639)(0.7361)0.2936PXC012340.29360.42110.22630.0540.0049（4）求数学期望1.0556。3有3只球4个盒子的编号为1，2，3，4。将球逐个独立地随机地放入4个盒子中去，以X表示其中至少有一只球的盒子的最小号码（例如X＝3，表示第1号、第2号盒子是空的，第3个盒子至少有一只球。）试求()EX。解（1）求X的分布律由于每只球都有4种方法，由乘法定理共有3464种放法。其中3只球都放到第4号盒子中的放法仅有1种，从而1{4}64PX；又{3}X“3X”表示事件：“第1号、第2号盒子是空的，第3号盒子不空”，从而3只球只能放在第3、4号两个盒子中，共有328种放法，但其中有一种是3只坏都放在第4号盒子中，即3号盒子是空的，这不符合3X这一要求，需要除去，故有“2X”表示事件：“第1号是空的，第2号盒子不空”，从而3只球只能放在第2、3、4号三个盒子中，共有3327种放法，但其中有一种是3只球都放在第3、或4号盒子中，共有328种放法，即2号盒子是空的，这不符合2X这一要求，需要除去，故有即1234（2）求()EX37197110025()12341.5625646464646416EX。4（1）设随机变量X的分布律为132{(1)}3jjjPXj，（1,2,3,j），说明X的数学期望不存在。（2）一个盒中装有1只黑球，一只白球，作摸球游戏，规则如下：一次随机地从盒中摸出一只球，若摸到白球，则游戏结束；若摸到黑球，放回再放入一只黑球，然后再从盒中随机地摸取一只球。试说明要游戏结束的摸球次数X的数学期望不存在。解（1）因为级数111113332(1){(1)}(1)3jjjjjjjjjPjjj11(1)2jjj，这是一个莱布尼茨交错级数，收敛而非绝对收敛。所以其数学期望不存在。（2）以kA记事件“第k次摸到黑球”，以kA记事件“第k次摸到白球”，以kC表示事件“游戏在k次摸球时结束”，1,2,3,k。按题意，121kkkCAAAA，由乘法公式得而11{1}()2PXPA21221112111(|)(|)()43243PAAAPAAPA，一般地，若当Xk时，盒中共有1k只球，其中只有一只白球，故若()EX存在，则根据数学期望的定义，就有111111()()11kkkEXkPXkkkkk，而调和级数111kk却是发散的，此即表明数学期望()EX不存在。5设在某一规定的时间间隔里，某电气设备用于最大负荷的时间X（以min计）是一个随机变量，其概率密度为求()EX解按连续型随机变量的数学期望的定义有6设随机变量X的分布律为－2020.40.30.3...
