课时训练5“杨辉三角”与二项式系数的性质一、选择题1.(1-x)13的展开式中系数最小的项为().A.第6项B.第7项C.第8项D.第9项答案:C解析:展开式中共有14项,中间两项(第7,8项)的二项式系数最大.由于二项展开式中二项式的系数和项的系数满足:奇数项相等,偶数项互为相反数.故系数最小的项为第8项,系数最大的项为第7项.2.(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)n的展开式的各项系数和是().A.2n+1B.2n+1+1C.2n+1-1D.2n+1-2答案:D解析:令x=1,可知其各项系数和为2+22+…+2n=2n+1-2.3.展开式中只有第6项二项式系数最大,则展开式中的常数项是().A.180B.90C.45D.360答案:A解析:因为的展开式中只有第6项二项式系数最大,所以n=10,则由Tr+1=)10-r·2r,令=0,解得r=2,所以展开式中的常数项是·22=180,故选A.4.(2-)8展开式中不含x4项的系数的和为().A.-1B.0C.1D.2答案:B解析:令x=1,得展开式中各项系数之和为(2-)8=1,由Tr+1=·28-r()r,令r=8,得T9=·20x4=x4,其系数为1,故展开式中不含x4的项的系数和为1-1=0.5.已知展开式中的第10项是常数项,则展开式中系数最大的项是().A.第19项B.第17项C.第17项或第19项D.第18项或第19项答案:A解析:T10=)n-9·,由T10为常数项,得-9=0,所以n=36,故第19项系数最大.6.已知(1-2x)6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6,则|a0|+|a1|+|a2|+…+|a6|=().A.1B.-1C.36D.26答案:C解析:由已知展开式中a0,a2,a4,a6大于零,a1,a3,a5小于零.1令x=1,得a0+a1+a2+…+a6=1,①令x=-1,得a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6=36,②则①+②得a0+a2+a4+a6=,①-②得a1+a3+a5=,故|a0|+|a1|+|a2|+…+|a6|==36.二、填空题7.(2014安徽高考)设a≠0,n是大于1的自然数,的展开式为a0+a1x+a2x2+…+anxn.若点Ai(i,ai)(i=0,1,2)的位置如图所示,则a=.答案:3解析:由题意得a1=·=3,∴n=3a;a2==4,∴n2-n=8a2.将n=3a代入n2-n=8a2得9a2-3a=8a2,即a2-3a=0,解得a=3或a=0(舍去).∴a=3.8.如图,在由二项式系数所构成的杨辉三角中,第行中从左到右第14与第15个数的比为2∶3.答案:34解析:由题可设第n行的第14个与第15个数的比为2∶3,故二项展开式的第14项和第15项的系数比为2∶3,即=2∶3,所以=2∶3,故,即n=34.三、解答题9.已知(a2+1)n展开式中的各项系数之和等于的展开式的常数项,而(a2+1)n的展开式的系数最大的项等于54,求a的值.2解:由,得Tr+1=··,令Tr+1为常数项,则20-5r=0,所以r=4,常数项T5==16.又(a2+1)n展开式中的各项系数之和等于2n,由此得到2n=16,n=4.所以(a2+1)4展开式中系数最大项是中间项T3=a4=54.所以a=±.10.(2014河北邢台一中高二月考)(1)求的展开式中的常数项;(2)已知x10=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+…+a10(x+2)10,求a1+a2+a3+…+a10的值.解:(1)展开式通项为Tr+1=(r=0,1,2,…,9).由r-9=0,可得r=6.因此展开式的常数项为第7项T6+1=.(2)恒等式中赋值,分别令x=-2与x=-1,得到②-①得a1+a3+…+a10=1-210=-1023.故a1+a2+…+a10的值为-1023.11.求证:(1)+2+…+n=n·2n-1;(2)+…+(2n+1-1).证明:(1)∵k=k·=n·=n,∴左边=n+n+…+n=n(+…+)=n·2n-1=右边.(2)∵·=·=.∴左边=+…+.=+…+)=(2n+1-1)=右边.12.已知在的展开式中,只有第6项的二项式系数最大.(1)求n;(2)求展开式中系数绝对值最大的项和系数最大的项.解:(1)∵展开式中只有第6项的二项式系数最大,∴n是偶数,第6项即为中间项.∵它前边5项,后边5项,共有11项,∴+1=6,得n=10.(2)展开式的通项是Tr+1=(-1)r·2-r·,系数的绝对值是·2-r,若它最大,则≤r≤.3∵r∈N*,∴r=3.因此系数绝对值最大的项是第4项,即-·2-3·=-15.系数最大的项应在项数为奇数的项之内,即r取偶数0,2,4,6,8时,各项系数分别为=1,·2-2=·2-4=·2-6=·2-8=,故系数最大的项是第5项,即.13.在杨辉三角中,每一个数值是它左上角和右上角两个数值之和,三角形开头几行如下:(1)利用杨辉三角展开(1-x)6;(2)求0.9986的近似值,使误差小于0.001;(3)在杨辉三角中的哪一行会出现相邻的数,它们的比是3∶4∶5?解:(1)由杨辉三角知,第6行二项式系数为1,6,15,20,15,6,1.所以(a+b)6=a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6.令其中a=1,b=-x,得(1-x)6=1-6x+15x2-20x3+15x4-6x5+x6.(2)0.9986=(1-0.002)6=1-6×0.002+15×0.0022+…+0.0026≈1-6×0.002=0.988.(3)设在第n行出现,并设相邻的三个数分别是,那么有故即故解得n=62,k=27,即第62行,此时=3∶4∶5.4
