1§7.4数列求和、数列的综合应用最新考纲考情考向分析1.掌握等差、等比数列的前n项和公式及其应用．2.会利用数列的关系解决实际问题.本节以考查分组法、错位相减法、倒序相加法、裂项相消法求数列前n项和为主，识别出等差(比)数列，直接用公式法也是考查的热点．题型以解答题的形式出现，难度中等或稍难．与不等式、函数、最值等问题综合.1．等差数列的前n项和公式Sn＝na1＋an2＝na1＋nn－12d.2．等比数列的前n项和公式Sn＝na1，q＝1，a1－anq1－q＝a11－qn1－q，q≠1.3．一些常见数列的前n项和公式(1)1＋2＋3＋4＋⋯＋n＝nn＋12.(2)1＋3＋5＋7＋⋯＋2n－1＝n2.(3)2＋4＋6＋8＋⋯＋2n＝n(n＋1)．(4)12＋22＋⋯＋n2＝nn＋12n＋16.4．数列求和的常用方法(1)公式法等差、等比数列或可化为等差、等比数列的可直接使用公式求和．(2)分组转化法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解．(3)裂项相消法2把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．常见的裂项公式①1nn＋1＝1n－1n＋1；②12n－12n＋1＝1212n－1－12n＋1；③1n＋n＋1＝n＋1－n.(4)倒序相加法把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广．(5)错位相减法主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广．(6)并项求和法一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．例如，Sn＝1002－992＋982－972＋⋯＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋⋯＋(2＋1)＝5050.题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)如果数列{an}为等比数列，且公比不等于1，则其前n项和Sn＝a1－an＋11－q.(√)(2)当n≥2时，1n2－1＝121n－1－1n＋1.(√)(3)求Sn＝a＋2a2＋3a3＋⋯＋nan之和时，只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求得．(×)(4)数列12n＋2n－1的前n项和为n2＋12n.(×)(5)推导等差数列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此法可求得sin21°＋sin22°＋sin23°＋⋯＋sin288°＋sin289°＝44.5.(√)(6)如果数列{an}是周期为k的周期数列，那么Skm＝mSk(m，k为大于1的正整数)．(√)题组二教材改编2．[P61A组T5]一个球从100m高处自由落下，每次着地后又跳回到原高度的一半再落下，当它第10次着地时，经过的路程是()A．100＋200(1－2－9)B．100＋100(1－2－9)3C．200(1－2－9)D．100(1－2－9)答案A解析第10次着地时，经过的路程为100＋2(50＋25＋⋯＋100×2－9)＝100＋2×100×(2－1＋2－2＋⋯＋2－9)＝100＋200×2－11－2－91－2－1＝100＋200(1－2－9)．3．[P61A组T4(3)]1＋2x＋3x2＋⋯＋nxn－1＝________(x≠0且x≠1)．答案1－xn1－x2－nxn1－x解析设Sn＝1＋2x＋3x2＋⋯＋nxn－1，①则xSn＝x＋2x2＋3x3＋⋯＋nxn，②①－②得(1－x)Sn＝1＋x＋x2＋⋯＋xn－1－nxn＝1－xn1－x－nxn，∴Sn＝1－xn1－x2－nxn1－x.题组三易错自纠4．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，当n≥2时，an＋2Sn－1＝n，则S2019等于()A．1007B．1008C．1009D．1010答案D解析由an＋2Sn－1＝n得an＋1＋2Sn＝n＋1，两式相减得an＋1－an＋2an＝1?an＋1＋an＝1?S2019＝a1＋(a2＋a3)＋⋯＋(a2018＋a2019)＝1009×1＋1＝1010.5．数列{an}的通项公式为an＝(－1)n－1·(4n－3)，则它的前100项之和S100等于()A．200B．－200C．400D．－400答案B解析S100＝(4×1－3)－(4×2－3)＋(4×3－3)－⋯－(4×100－3)＝4×[(1－2)＋(3－4)＋⋯＋(99－100)]＝4×(－50)＝－200.6．数列{an}的通项公式为an＝ncosnπ2，其前n项和为Sn，则S2017＝________.答案1008解析因为数列an＝ncosnπ2呈周期性变化，观察此数列规律如下：a1＝0，a2＝－2，a3＝0，a4＝4.故S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝2.a5＝0，a6＝－6，a7＝0，a8＝8，故a5＋a6＋a7＋a8＝2，∴周期T＝4.∴S2017＝S2016＋a20174＝20164×2＋2017·cos20172π＝1008.7．(2011·浙江)若数列nn＋423n中的最大项是第k项，则k＝________.答案4解析由题意知kk＋423k≥k－1k＋323k－1，kk＋423k≥k＋1k＋523k＋1，解得10≤k≤1＋10. k∈N*，...
