1高考专题突破四高考中的数列问题题型一等差数列、等比数列的基本问题例1(2018·浙江杭州地区四校联考)已知数列{an}满足a1＝1,1a2n＋4＝1an＋1，记Sn＝a21＋a22＋⋯＋a2n，若S2n＋1－Sn≤t30对任意的n∈N*恒成立．(1)求数列{a2n}的通项公式；(2)求正整数t的最小值．解(1)由题意得1a2n＋1－1a2n＝4，则1a2n是以1为首项，4为公差的等差数列，则1a2n＝1＋(n－1)×4＝4n－3，则a2n＝14n－3.(2)不妨设bn＝S2n＋1－Sn＝a2n＋1＋a2n＋2＋⋯＋a22n＋1，考虑到bn－bn＋1＝a2n＋1＋a2n＋2＋⋯＋a22n＋1－(a2n＋2＋a2n＋3＋⋯＋a22n＋2＋a22n＋3)＝a2n＋1－a22n＋2－a22n＋3＝14n＋1－18n＋5－18n＋9＝18n＋2－18n＋5＋18n＋2－18n＋9>0，因此数列{bn}单调递减，则bn的最大值为b1＝S3－S1＝a22＋a23＝15＋19＝1445≤t30，∴t≥283，则tmin＝10.思维升华等差数列、等比数列综合问题的解题策略(1)分析已知条件和求解目标，为最终解决问题设置中间问题，例如求和需要先求出通项、求通项需要先求出首项和公差(公比)等，确定解题的顺序．(2)注意细节：在等差数列与等比数列综合问题中，如果等比数列的公比不能确定，则要看其是否有等于1的可能，在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等，这些细节对解题的影响也是巨大的．2跟踪训练1(2018·浙江名校联盟联考)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的公比是q(q≠1)，且满足：a1＝2，b1＝1，S2＝3b2，a2＝b3.(1)求an与bn；(2)设cn＝2bn－λ·23na，若数列{cn}是递减数列，求实数λ的取值范围．解(1)设数列{an}的公差为d，依题意可得2＋2＋d＝3q，2＋d＝q2，解得d＝－1，q＝1(舍去)或d＝2，q＝2.故an＝2＋2(n－1)＝2n，bn＝2n－1.(2)由(1)可知cn＝2n－λ·3n，若{cn}是递减数列，则cn＋112×23n在n∈N*时成立，只需λ>12×23nmax.因为y＝12×23n在n∈N*时单调递减，所以12×23nmax＝12×23＝13.故λ>13，即实数λ的取值范围是13，＋∞.题型二数列的通项与求和例2(2018·台州质检)已知数列{an}的前n项和为Sn，数列Snn是首项为1，公差为2的等差数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设数列{bn}满足a1b1＋a2b2＋⋯＋anbn＝5－(4n＋5)·12n，求数列{bn}的前n项和Tn.解(1)因为数列Snn是首项为1，公差为2的等差数列，所以Snn＝1＋2(n－1)＝2n－1.所以Sn＝2n2－n.当n＝1时，a1＝S1＝1；3当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－n)－[2(n－1)2－(n－1)]＝4n－3，当n＝1时，a1＝1也符合上式．所以数列{an}的通项公式为an＝4n－3(n∈N*)．(2)当n＝1时，a1b1＝12，所以b1＝2a1＝2；当n≥2时，由a1b1＋a2b2＋⋯＋anbn＝5－(4n＋5)12n，所以a1b1＋a2b2＋⋯＋an－1bn－1＝5－(4n＋1)12n－1.两式相减，得anbn＝(4n－3)12n.因为an＝4n－3，所以bn＝4n－34n－312n＝2n(当n＝1时，也符合此式)．又bn＋1bn＝2n＋12n＝2，则数列{bn}是首项为2，公比为2的等比数列．所以Tn＝21－2n1－2＝2n＋1－2.思维升华(1)可以利用数列的递推关系探求数列的通项，利用递推关系构造数列或证明数列的有关结论．(2)根据数列的特点选择合适的求和方法，常用的求和方法有错位相减法、分组转化法、裂项相消法等．跟踪训练2(2018·浙江教育绿色评价联盟适应性考试)已知数列{an}中，a1＝3，a2＝5，其前n项和Sn满足Sn＋Sn－2＝2Sn－1＋2n－1(n≥3)．令bn＝1an·an＋1.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若f(x)＝2x－1，求证：Tn＝b1f(1)＋b2f(2)＋⋯＋bnf(n)<16(n≥1)．(1)解由题意知Sn－Sn－1＝Sn－1－Sn－2＋2n－1(n≥3)，即an－an－1＝2n－1(n≥3)，所以an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋⋯＋(a3－a2)＋a2＝2n－1＋2n－2＋⋯＋22＋5＝2n－1＋2n－2＋⋯＋22＋2＋1＋2＝2n＋1(n≥3)，检验知n＝1,2时，结论也成立，故an＝2n＋1.4(2)证明由于bnf(n)＝12n＋12n＋1＋1·2n－1＝12·2n＋1＋1－2n＋12n＋12n＋1＋1＝1212n＋1－12n＋1＋1.故Tn＝b1f(1)＋b2f(2)＋⋯＋bnf(n)＝1212＋1－122＋1＋122＋1－123＋1＋⋯＋12n＋1－12n＋1＋1＝1212＋1－12n＋1＋1<12×12＋1＝16.所以Tn<16.题型三数列与不等式的交汇例3已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝an1...
