浙江专用2020版高考数学数列与数学归纳法专题突破四高考中的数列问题讲义含解析VIP免费

1高考专题突破四高考中的数列问题题型一等差数列、等比数列的基本问题例1(2018·浙江杭州地区四校联考)已知数列{an}满足a1＝1,1a2n＋4＝1an＋1，记Sn＝a21＋a22＋⋯＋a2n，若S2n＋1－Sn≤t30对任意的n∈N*恒成立．(1)求数列{a2n}的通项公式；(2)求正整数t的最小值．解(1)由题意得1a2n＋1－1a2n＝4，则1a2n是以1为首项，4为公差的等差数列，则1a2n＝1＋(n－1)×4＝4n－3，则a2n＝14n－3.(2)不妨设bn＝S2n＋1－Sn＝a2n＋1＋a2n＋2＋⋯＋a22n＋1，考虑到bn－bn＋1＝a2n＋1＋a2n＋2＋⋯＋a22n＋1－(a2n＋2＋a2n＋3＋⋯＋a22n＋2＋a22n＋3)＝a2n＋1－a22n＋2－a22n＋3＝14n＋1－18n＋5－18n＋9＝18n＋2－18n＋5＋18n＋2－18n＋9>0，因此数列{bn}单调递减，则bn的最大值为b1＝S3－S1＝a22＋a23＝15＋19＝1445≤t30，∴t≥283，则tmin＝10.思维升华等差数列、等比数列综合问题的解题策略(1)分析已知条件和求解目标，为最终解决问题设置中间问题，例如求和需要先求出通项、求通项需要先求出首项和公差(公比)等，确定解题的顺序．(2)注意细节：在等差数列与等比数列综合问题中，如果等比数列的公比不能确定，则要看其是否有等于1的可能，在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等，这些细节对解题的影响也是巨大的．2跟踪训练1(2018·浙江名校联盟联考)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的公比是q(q≠1)，且满足：a1＝2，b1＝1，S2＝3b2，a2＝b3.(1)求an与bn；(2)设cn＝2bn－λ·23na，若数列{cn}是递减数列，求实数λ的取值范围．解(1)设数列{an}的公差为d，依题意可得2＋2＋d＝3q，2＋d＝q2，解得d＝－1，q＝1(舍去)或d＝2，q＝2.故an＝2＋2(n－1)＝2n，bn＝2n－1.(2)由(1)可知cn＝2n－λ·3n，若{cn}是递减数列，则cn＋112×23n在n∈N*时成立，只需λ>12×23nmax.因为y＝12×23n在n∈N*时单调递减，所以12×23nmax＝12×23＝13.故λ>13，即实数λ的取值范围是13，＋∞.题型二数列的通项与求和例2(2018·台州质检)已知数列{an}的前n项和为Sn，数列Snn是首项为1，公差为2的等差数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设数列{bn}满足a1b1＋a2b2＋⋯＋anbn＝5－(4n＋5)·12n，求数列{bn}的前n项和Tn.解(1)因为数列Snn是首项为1，公差为2的等差数列，所以Snn＝1＋2(n－1)＝2n－1.所以Sn＝2n2－n.当n＝1时，a1＝S1＝1；3当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－n)－[2(n－1)2－(n－1)]＝4n－3，当n＝1时，a1＝1也符合上式．所以数列{an}的通项公式为an＝4n－3(n∈N*)．(2)当n＝1时，a1b1＝12，所以b1＝2a1＝2；当n≥2时，由a1b1＋a2b2＋⋯＋anbn＝5－(4n＋5)12n，所以a1b1＋a2b2＋⋯＋an－1bn－1＝5－(4n＋1)12n－1.两式相减，得anbn＝(4n－3)12n.因为an＝4n－3，所以bn＝4n－34n－312n＝2n(当n＝1时，也符合此式)．又bn＋1bn＝2n＋12n＝2，则数列{bn}是首项为2，公比为2的等比数列．所以Tn＝21－2n1－2＝2n＋1－2.思维升华(1)可以利用数列的递推关系探求数列的通项，利用递推关系构造数列或证明数列的有关结论．(2)根据数列的特点选择合适的求和方法，常用的求和方法有错位相减法、分组转化法、裂项相消法等．跟踪训练2(2018·浙江教育绿色评价联盟适应性考试)已知数列{an}中，a1＝3，a2＝5，其前n项和Sn满足Sn＋Sn－2＝2Sn－1＋2n－1(n≥3)．令bn＝1an·an＋1.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若f(x)＝2x－1，求证：Tn＝b1f(1)＋b2f(2)＋⋯＋bnf(n)<16(n≥1)．(1)解由题意知Sn－Sn－1＝Sn－1－Sn－2＋2n－1(n≥3)，即an－an－1＝2n－1(n≥3)，所以an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋⋯＋(a3－a2)＋a2＝2n－1＋2n－2＋⋯＋22＋5＝2n－1＋2n－2＋⋯＋22＋2＋1＋2＝2n＋1(n≥3)，检验知n＝1,2时，结论也成立，故an＝2n＋1.4(2)证明由于bnf(n)＝12n＋12n＋1＋1·2n－1＝12·2n＋1＋1－2n＋12n＋12n＋1＋1＝1212n＋1－12n＋1＋1.故Tn＝b1f(1)＋b2f(2)＋⋯＋bnf(n)＝1212＋1－122＋1＋122＋1－123＋1＋⋯＋12n＋1－12n＋1＋1＝1212＋1－12n＋1＋1<12×12＋1＝16.所以Tn<16.题型三数列与不等式的交汇例3已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝an1...