浙江高考数学复习专题三数列第3讲数列不等式的证明问题选用学案VIP专享VIP免费

第3讲数列不等式的证明问题(选用)高考定位1.数列中不等式的证明是浙江高考数学试题的压轴题；2.主要考查数学归纳法、放缩法、反证法等数列不等式的证明方法，以及不等式的性质；3.重点考查学生逻辑推理能力和创新意识.真题感悟(2017·浙江卷)已知数列{xn}满足：x1＝1，xn＝xn＋1＋ln(1＋xn＋1)(n∈N*).证明：当n∈N*时，(1)0＜xn＋1＜xn；(2)2xn＋1－xn≤xnxn＋12；(3)12n－1≤xn≤12n－2.证明(1)用数学归纳法证明：xn＞0.当n＝1时，x1＝1＞0.假设n＝k(k≥1，k∈N*)时，xk＞0，那么n＝k＋1时，若xk＋1≤0，则0＜xk＝xk＋1＋ln(1＋xk＋1)≤0，矛盾，故xk＋1＞0，因此xn＞0(n∈N*).所以xn＝xn＋1＋ln(1＋xn＋1)＞xn＋1，因此0＜xn＋1＜xn(x∈N*).(2)由xn＝xn＋1＋ln(1＋xn＋1)得，xnxn＋1－4xn＋1＋2xn＝x2n＋1－2xn＋1＋(xn＋1＋2)ln(1＋xn＋1).记函数f(x)＝x2－2x＋(x＋2)ln(1＋x)(x≥0).f′(x)＝2x2＋xx＋1＋ln()1＋x＞0(x＞0)，函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，所以f(x)≥f(0)＝0，因此x2n＋1－2xn＋1＋(xn＋1＋2)ln(1＋xn＋1)＝f(xn＋1)≥0，故2xn＋1－xn≤xnxn＋12(n∈N*).(3)因为xn＝xn＋1＋ln(1＋xn＋1)≤xn＋1＋xn＋1＝2xn＋1，所以xn≥12xn－1≥122xn－2≥⋯≥12n－1x1＝12n－1.故xn≥12n－1.由xnxn＋12≥2xn＋1－xn得1xn＋1－12≥21xn－12＞0，所以1xn－12≥21xn－1－12≥⋯≥2n－11x1－12＝2n－2，故xn≤12n－2.综上，12n－1≤xn≤12n－2(n∈N*).考点整合1.数学归纳法证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；(2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立.只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.2.反证法一般地，由证明pq转向证明：綈qrt，t与假设矛盾，或与某个真命题矛盾，从而判定綈q为假，推出q为真的方法，叫做反证法.3.放缩法放缩法是利用不等式的传递性，证明不等式的方法，要证A0且a≠1，n∈N*).(1)证明：当n≥2时，anb.证明(1)由an＋1＝2ana2n＋1知，an与a1的符号相同，而a1＝a>0，所以an>0，所以an＋1＝2an＋1an≤1，当且仅当an＝1时，an＋1＝1，下面用数学归纳法证明：①因为a>0且a≠1，所以a2<1，a3a2＝2a22＋1>1，即有a21，即ak＋1ak＋1>ak≥b；若aka221＋b2k－1>a221＋bk－1＝a21＋1－b1＋bk－1≥a21＋1－b1＋b（k－1）.因为k≥（b－a2）（b＋1）a2（1－b）＋1，所以1－b1＋b(k－1)＋1≥b－a2a2＋1＝ba2，所以ak＋1>b.探究提高数学归纳法是解决和正整数有关命题的证明方法，可以借助递推公式，证明由特殊到一般的结论成立问题.因此，可以在数列不等式的证明中大显身手.在本例中，(1)首先根据条件等式的结构特征推出an>0，然后用数学归纳法证明即可；(2)首先由(1)知当k≥2时，1>ak＋1>ak≥b，然后利用数列的递推公式证明即可.热点二反证法证明数列不等式【例2】(2018·温州调考)已知数列{an}满足：an>0，an＋1＋1an<2(n∈N*).(1)求证：an＋21(n∈N*).证明(1)由an>0，an＋1＋1an<2，得an＋1<2－1an<2.因为2>an＋2＋1an＋1>2an＋2an＋1(由题知an＋1≠an＋2)，所以an＋2N时，an≤aN＋1<1.根据an＋1－1<1－1an＝an－1an<0，而an<1，所以1an＋1－1>anan－1＝1＋1an－1，于是1aN＋2－1>1＋1aN＋1－...