?1.证：对n用归纳法。先证可表示性：当n=0,1时，命题成立。假设对小于n的非负整数，命题成立。对于n,设k!≤n＜(k+1)!,即0≤n-k!＜k·k!由假设对n-k!,命题成立，设n-k!=∑ai·i!，其中ak≤k-1,n=∑ai·i!+k!，命题成立。i=1ki=1k再证表示的唯一性：设n=∑ai·i!=∑bi·i!,不妨设aj＞bj,令j=max{i|ai≠bi}aj·j!+aj-1·(j-1)!+⋯+a1·1!=bj·j!+bj-1·(j-1)!+⋯+b1·1!,(aj-bj)·j!=∑(bi-ai)·i!≥j!＞∑i·i!≥∑|bi-ai|·i!≥∑(bi-ai)·i!另一种证法：令j=min{i|ai≠bi}∑ai·i!=∑bi·i!,两边被(j+1)!除,得余数aj·j!=bj·j!,矛盾.i=1ki=1ki=1j-1i=1j-1i=1j-1i=1j-1i≥ji≥j?2.证：组合意义：等式左边：n个不同的球，先任取出1个，再从余下的n-1个中取r个；等式右边：n个不同球中任意取出r+1个，并指定其中任意一个为第一个。显然两种方案数相同。nC(n-1,r)=n————=———————(n-1)!(r+1)·n!r!·(n-r-1)!(r+1)·r!·(n-r-1)!=——————=(r+1)C(n,r+1).(r+1)·n!(r+1)!·(n-r-1)!?3.证：设有n个不同的小球，A、B两个盒子,A盒中恰好放1个球,B盒中可放任意个球。有两种方法放球：①先从n个球中取k个球(k≥1),再从中挑一个放入A盒,方案数共为∑kC(n,k),其余球放入B盒。②先从n个球中任取一球放入A盒，剩下n-1个球每个有两种可能，要么放入B盒，要么不放，故方案数为n2.显然两种方法方案数应该一样。k=1nn-1?4.解：设取的第一组数有a个,第二组有b个,而要求第一组数中最小数大于第二组中最大的，即只要取出一组m个数(设m=a+b),从大到小取a个作为第一组,剩余的为第二组。此时方案数为C(n,m)。从m个数中取第一组数共有m-1中取法。总的方案数为∑(m-1)C(n,m)=n·2+1.?5.解：第1步从特定引擎对面的3个中取1个有C(3,1)种取法，第2步从特定引擎一边的2个中取1个有C(2,1)种取法，第3步从特定引擎对面的2个中取1个有C(2,1)中取法，剩下的每边1个取法固定。所以共有C(3,1)·C(2,1)·C(2,1)=12种方案。m=2nn-1?6.解：首先所有数都用6位表示，从000000到999999中在每位上0出现了10次,所以0共出现了6·10次,0出现在最前面的次数应该从中去掉，000000到999999中最左1位的0出现了10次，000000到099999中左数第2位的0出现了10次，000000到009999左数第3位的0出现了10次,000000到000999左数第4位的0出现了10次,000000到000099左数第5位的0出现了10次,000000到000009左数第6位的0出现了10次。另外1000000的6个0应该被加上。所以0共出现了6·10–10–10–10–10–10–10+6=488895次。555432105543210?7.解：把n个男、n个女分别进行全排列，然后按乘法法则放到一起，而男女分别在前面,应该再乘2,即方案数为2·(n!)个.围成一个圆桌坐下，根据圆排列法则，方案数为2·(n!)/(2n)个.?8.证：每个盒子不空，即每个盒子里至少放一个球，因为球完全一样，问题转化为将n-r个小球放入r个不同的盒子，每个盒子可以放任意个球，可以有空盒，根据可重组合定理可得共有C(n-r+r-1,n-r)=C(n-1,n-r)中方案。根据C(n,r)=C(n,n-r),可得C(n-1,n-r)=C(n-1,n-1-(n-r))=C(n-1,r-1)个方案。证毕。22?9.解：每个能整除尽数n的正整数都可以选取每个素数pi从0到ai次，即每个素数有ai+1种选择，所以能整除n的正整数数目为(a1+1)·(a2+1)·⋯·(al+1)个。?10.解：相当于把n个小球放入6个不同的盒子里，为可重组合，即共有C(n+6-1,n)中方案，即C(n+5,n)中方案。?11.解：根据题意,每4个点可得到两条对角线,1个对角线交点,从10个顶点任取4个的方案有C(10,4)中,即交于210个点。?11.(续前页)根据图论知识，每个对角线交点有4个度，每个顶点去掉与相邻两个顶点的连线还有7个度，可以得到210·4+10·72?12.证：根据第9题的结论，n=p1p2⋯pl,能被(a1+1)·(a2+1)·⋯·(al+1)个数整除，而n=p1p2⋯pl,能被(2a1+1)·(2a2+1)·⋯·(2al+1)个数整除，2ai+1为奇数(0≤i≤l)，所以乘积为奇数。证毕。———————=455条边a1a2al22a12a22al?13.解：(a)每个质点放入盒子都有n种选择，r个质点共有r种不同的图案。(b)可重组合，共有C(n+r-1,r)种图案。(c)一般组合问题，共有C(n,r)种图案。?14.解：其中有2个母音可构成C(21,4)C(5,2)6!个字。其...
