离心率的五种求法椭圆的离心率10e，双曲线的离心率1e，抛物线的离心率1e．一、直接求出a、c，求解e已知圆锥曲线的标准方程或a、c易求时，可利用率心率公式ace来解决。例1：已知双曲线1222yax（0a）的一条准线与抛物线xy62的准线重合，则该双曲线的离心率为（）A.23B.23C.26D.332解：抛物线xy62的准线是23x，即双曲线的右准线23122cccax，则02322cc，解得2c，3a，332ace，故选D变式练习1：若椭圆经过原点，且焦点为0,11F、0,32F，则其离心率为（）A.43B.32C.21D.41解：由0,11F、0,32F知132c，∴1c，又 椭圆过原点，∴1ca，3ca，∴2a，1c，所以离心率21ace.故选C.变式练习2：如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为（）A.23B.26C.23D2解：由题设2a，62c，则3c，23ace，因此选C变式练习3：点P（-3，1）在椭圆12222byax（0ba）的左准线上，过点P且方向为5,2a的光线，经直线2y反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（）A33B31C22D21解：由题意知，入射光线为3251xy，关于2y的反射光线（对称关系）为0525yx，则05532cca解得3a，1c，则33ace，故选A二、构造a、c的齐次式，解出e根据题设条件，借助a、b、c之间的关系，构造a、c的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e的一元方程，从而解得离心率e。例2：已知1F、2F是双曲线12222byax（0,0ba）的两焦点，以线段21FF为边作正三角形21FMF，若边1MF的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（）A.324B.13C.213D.13解：如图，设1MF的中点为P，则P的横坐标为2c，由焦半径公式aexPFp1，即acacc2，得0222acac，解得31ace（31舍去），故选D变式练习1：设双曲线12222byax（ba0）的半焦距为c，直线L过0,a，b,0两点.已知原点到直线的距离为c43，则双曲线的离心率为()A.2B.3C.2D.332解：由已知，直线L的方程为0abaybx，由点到直线的距离公式，得cbaab4322，又222bac,∴234cab,两边平方，得4222316caca，整理得01616324ee，得42e或342e，又ba0，∴2122222222ababaace，∴42e，∴2e，故选A变式练习2：双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为1F、2F，021120MFF，则双曲线的离心率为（）A3B26C36D33解：如图所示，不妨设bM,0，0,1cF，0,2cF，则2221bcMFMF，又cFF221，在21MFF中，由余弦定理，得212212221212cosMFMFFFMFMFMFF,即22222222421bccbcbc，∴212222cbcb， 222acb，∴212222aca，∴2223ca，∴232e，∴26e，故选B三、采用离心率的定义以及椭圆的定义求解例3：设椭圆的两个焦点分别为1F、2F，过2F作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若21PFF为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是________。解：12121222222221cccPFPFcacace四、根据圆锥曲线的统一定义求解例4：设椭圆12222byax（0,0ba）的右焦点为1F，右准线为1l，若过1F且垂直于x轴的弦的长等于点1F到1l的距离，则椭圆的离心率是.解：如图所示，AB是过1F且垂直于x轴的弦， 1lAD于D，∴AD为1F到准线1l的距离，根据椭圆的第二定义，21211ADABADAFe变式练习：在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为（）A2B22C21D42解：221222ADAFe五、构建关于e的不等式，求e的取值范围例5：设4,0，则二次曲线1tancot22yx的离心率的取值范围为（）A.21B.22,21C.2,22D.,2另：由1tancot22yx，4,0，得tan2a，cot2b,∴cottan222bac,∴2222cot1tancottanace 4,0，∴1cot2,∴22e，∴2e，故选D例6：如图，已知梯形ABCD中，CDAB2，点E分有向线段AC所成的比为，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点．当4332时，求双曲线离心率e的取值范围。解：以AB的垂直平分线为y轴，直线AB为x轴，建立如图所示的直角坐标系xoy，则yCD轴.因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于y轴对称．依题意，记0,cA，hcC,2，00,yxE，其中ABc21为双曲线的半焦距，h是梯形的高．由定比分点坐标公式得122120cccx，10hy，设双曲线的方程为12222byax，则离心率ace，由点C、E在双曲线上，所以，将点C的坐标代入双曲线方程得142222bhac①将点E的坐标代入双曲线方程得11124222222bhac②再将ace①、②得14222bhe，∴14222ebh③1112422222bhe④将③式代入④式，整理...
