-986-第100炼利用同构特点解决问题一、基础知识：1、同构式：是指除了变量不同，其余地方均相同的表达式2、同构式的应用：（1）在方程中的应用：如果方程0fa和0fb呈现同构特征，则,ab可视为方程0fx的两个根（2）在不等式中的应用：如果不等式的两侧呈现同构特征，则可将相同的结构构造为一个函数，进而和函数的单调性找到联系。可比较大小或解不等式（3）在解析几何中的应用：如果1122,,,AxyBxy满足的方程为同构式，则,AB为方程所表示曲线上的两点。特别的，若满足的方程是直线方程，则该方程即为直线AB的方程（4）在数列中的应用：可将递推公式变形为“依序同构”的特征，即关于,nan与1,1nan的同构式，从而将同构式设为辅助数列便于求解二、典型例题：例1：（2015天津十二校联考）设,xyR，满足5512sin1312sin11xxxyyy，则xy（）A.0B.2C.4D.6思路：本题研究对象并非,xy，而是1,1xy，进而可变形为55121sin11121sin11xxxyyy，观察上下式子左边结构相同，进而可将相同的结构视为一个函数，而等式右边两个结果互为相反数，可联想到函数的奇偶性，从而利用函数性质求解解：5512sin1312sin11xxxyyy55121sin11121sin11xxxyyy设52sinftttt，可得ft为奇函数，由题意可得：1111fxfy11fxfy-987-112xyxy答案：B例2：若函数1fxxm在区间,ab上的值域为,122abba，则实数m的取值范围是_____________思路：注意到fx是增函数，从而得到,22abfafb，即1212aambbm，发现两个式子为,ab的同构式，进而将同构式视为一个方程，而,ab为该方程的两个根，m的取值只需要保证方程有两根即可解：fx为增函数,22abfafb1212aambbm,ab为方程12xxm在1,上的两个根，即12xmx有两个不同的根令2101txtxt所以方程变形为：221112122mtttt，结合图像可得：10,2m答案：10,2m例3：设,abR?，则|“ab>”是“aabb>”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充要又不必要条件思路：观察aabb>可发现其同构的特点，所以将这种结构设为函数fxxx，分析其单调性。22,0,0xxfxxxxx可得fx为增函数。所以()()abfafb>?，-988-即abaabb>?，所以是充要条件答案：C例4：若1201xx，则（）A.2121lnlnxxeexxB.1221lnlnxxeexxC.1221xxxexeD.1221xxxexe答案：C思路：本题从选项出发可发现，每个选项通过不等式变形将12,xx分居在不等式两侧后都具备同构的特点，所以考虑将相同的形式构造为函数，从而只需判断函数在0,1的单调性即可解：A选项：21212121lnlnlnlnxxxxeexxexex，设lnxfxex'11xxxefxexx，设1xgxxe，则有'10xgxxe恒成立，所以gx在0,1单调递增，所以010,110gge，从而存在00,1x，使得00gx，由单调性可判断出：''''000,,00,,1,00xxgxfxxxgxfx，所以fx在0,1不单调，不等式不会恒成立B选项：12122112lnlnlnlnxxxxeexxexex，设lnxfxex可知fx单调递增。所以应该12fxfx，B错误C选项：12122112xxxxeexexexx，构造函数xefxx，'21xxefxx，则'0fx在0,1x恒成立。所以fx在0,1单调递减，所以12fxfx成立D选项：12122112xxxxeexexexx，同样构造xefxx，由C选项分析可知D错误答案：C-989-例5：已知函数fx是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有11xfxxfx，则20152f的值是（）A.0B.12C.1D.52思路：观察条件可变形为：11fxfxxx，从而得到等式左右的结构均为ftt的形式，且括号内的数间隔为1。所以2015201311222220152013112222ffff。因为fx为偶函数，所以1122ff，由11221122ff可得11022ff，进而20152015200201522ff答案：A例6：如果5533cossin7sincos,0,2，那么的取值范围是________思路：本题很难直接去解不等式，观察式子特点可发现若将关于sin,cos的项分居在不等号两侧：5353cos7cossin7sin，则左右呈现同构的特点，将相同的结构设为函数537fxxx，能够判断fx是奇函数且单调递增。所以不等式cossinff等价于cossin，即sincos02sin04，所以224kkkZ，结合0,2，可得544，答案：544，-990-例7：如图，设点00,Pxy在直线,01,xmymmm且为常数上，过点P作双曲线221xy的两条切线,PAPB，切点为,AB，求证：直线AB过某一个定点解：设1122,,,AxyBxy，PA的斜率为k则11:PAyykxx，联立方程11221yykxxxy消去y可得：22111xkxkxy，整理可得：22211111210k...
