-986-第100炼利用同构特点解决问题一、基础知识:1、同构式:是指除了变量不同,其余地方均相同的表达式2、同构式的应用:(1)在方程中的应用:如果方程0fa和0fb呈现同构特征,则,ab可视为方程0fx的两个根(2)在不等式中的应用:如果不等式的两侧呈现同构特征,则可将相同的结构构造为一个函数,进而和函数的单调性找到联系。可比较大小或解不等式(3)在解析几何中的应用:如果1122,,,AxyBxy满足的方程为同构式,则,AB为方程所表示曲线上的两点。特别的,若满足的方程是直线方程,则该方程即为直线AB的方程(4)在数列中的应用:可将递推公式变形为“依序同构”的特征,即关于,nan与1,1nan的同构式,从而将同构式设为辅助数列便于求解二、典型例题:例1:(2015天津十二校联考)设,xyR,满足5512sin1312sin11xxxyyy,则xy()A.0B.2C.4D.6思路:本题研究对象并非,xy,而是1,1xy,进而可变形为55121sin11121sin11xxxyyy,观察上下式子左边结构相同,进而可将相同的结构视为一个函数,而等式右边两个结果互为相反数,可联想到函数的奇偶性,从而利用函数性质求解解:5512sin1312sin11xxxyyy55121sin11121sin11xxxyyy设52sinftttt,可得ft为奇函数,由题意可得:1111fxfy11fxfy-987-112xyxy答案:B例2:若函数1fxxm在区间,ab上的值域为,122abba,则实数m的取值范围是_____________思路:注意到fx是增函数,从而得到,22abfafb,即1212aambbm,发现两个式子为,ab的同构式,进而将同构式视为一个方程,而,ab为该方程的两个根,m的取值只需要保证方程有两根即可解:fx为增函数,22abfafb1212aambbm,ab为方程12xxm在1,上的两个根,即12xmx有两个不同的根令2101txtxt所以方程变形为:221112122mtttt,结合图像可得:10,2m答案:10,2m例3:设,abR?,则|“ab>”是“aabb>”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充要又不必要条件思路:观察aabb>可发现其同构的特点,所以将这种结构设为函数fxxx,分析其单调性。22,0,0xxfxxxxx可得fx为增函数。所以()()abfafb>?,-988-即abaabb>?,所以是充要条件答案:C例4:若1201xx,则()A.2121lnlnxxeexxB.1221lnlnxxeexxC.1221xxxexeD.1221xxxexe答案:C思路:本题从选项出发可发现,每个选项通过不等式变形将12,xx分居在不等式两侧后都具备同构的特点,所以考虑将相同的形式构造为函数,从而只需判断函数在0,1的单调性即可解:A选项:21212121lnlnlnlnxxxxeexxexex,设lnxfxex'11xxxefxexx,设1xgxxe,则有'10xgxxe恒成立,所以gx在0,1单调递增,所以010,110gge,从而存在00,1x,使得00gx,由单调性可判断出:''''000,,00,,1,00xxgxfxxxgxfx,所以fx在0,1不单调,不等式不会恒成立B选项:12122112lnlnlnlnxxxxeexxexex,设lnxfxex可知fx单调递增。所以应该12fxfx,B错误C选项:12122112xxxxeexexexx,构造函数xefxx,'21xxefxx,则'0fx在0,1x恒成立。所以fx在0,1单调递减,所以12fxfx成立D选项:12122112xxxxeexexexx,同样构造xefxx,由C选项分析可知D错误答案:C-989-例5:已知函数fx是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数,且对任意实数x都有11xfxxfx,则20152f的值是()A.0B.12C.1D.52思路:观察条件可变形为:11fxfxxx,从而得到等式左右的结构均为ftt的形式,且括号内的数间隔为1。所以2015201311222220152013112222ffff。因为fx为偶函数,所以1122ff,由11221122ff可得11022ff,进而20152015200201522ff答案:A例6:如果5533cossin7sincos,0,2,那么的取值范围是________思路:本题很难直接去解不等式,观察式子特点可发现若将关于sin,cos的项分居在不等号两侧:5353cos7cossin7sin,则左右呈现同构的特点,将相同的结构设为函数537fxxx,能够判断fx是奇函数且单调递增。所以不等式cossinff等价于cossin,即sincos02sin04,所以224kkkZ,结合0,2,可得544,答案:544,-990-例7:如图,设点00,Pxy在直线,01,xmymmm且为常数上,过点P作双曲线221xy的两条切线,PAPB,切点为,AB,求证:直线AB过某一个定点解:设1122,,,AxyBxy,PA的斜率为k则11:PAyykxx,联立方程11221yykxxxy消去y可得:22111xkxkxy,整理可得:22211111210k...