第54炼数列求和含通项公式与求和习题VIP免费

-481-第54炼数列求和问题数列求和问题是高考数列中的一个易考类型，在已知通项公式的前提下，要通过观察通项公式（或者项）的特点决定选择哪种方法进行求和。考查学生的观察能力与辨析能力。所以在复习的过程中要抓住每种求和方法相对应的通项公式特点，并在练习中熟悉解法一、基础知识：1、根据通项公式的特点求和：（1）等差数列求和公式：1122pqnnaaaaSnnpqn112nnnSand（2）等比数列求和公式：111,11,1nnaqqSqanq（3）错位相减法：通项公式特点：na等差等比，比如2nnan，其中n代表一个等差数列的通项公式（关于n的一次函数），2n代表一个等比数列的通项公式（关于n的指数型函数），那么便可以使用错位相减法方法详解：以212nnan为例，设其前n项和为nS①先将nS写成n项和的形式121232212nnSn②两边同时乘以等比部分的公比，得到一个新的等式，与原等式上下排列121232212nnSn23121232232212nnnSnn，发现乘完公比后，对比原式项的次数，新等式的每项向后挪了一位。③然后两式相减：1231122222212nnnSn除了首项与末项，中间部分呈等比数列求和特点，代入公式求和，再解出nS即可1231122222212nnnSn-482-114212221221nnn13226nn所以12326nnSn对“错位相减法”的深层理解：通项公式的特点在错位相减法的过程中体现了怎样的作用？通过解题过程我们可以发现：等比的部分使得每项的次数逐次递增，才保证在两边同乘公比时实现了“错位”的效果。而等差的部分错位部分“相减”后保持系数一致（其系数即为等差部分的公差），从而可圈在一起进行等比数列求和。体会到“错位”与“相减”所需要的条件，则可以让我们更灵活的使用这一方法进行数列求和（4）裂项相消：通项公式特点：na的表达式能够拆成形如nafnfnk的形式（=1,2,k），从而在求和时可以进行相邻项（或相隔几项）的相消。从而结果只存在有限几项，达到求和目的。其中通项公式为分式和根式的居多方法详解：以12nann为例①裂项：考虑1111222nannnn（这里1fnn），在裂项的过程中把握两点：一是所裂两项要具备“依序同构”的特点，比如这里的11,1nn结构相同，且分母为相邻的两个数；二是可以先裂再调：先大胆的将分式裂成两项的差，在将结果通分求和与原式进行比较并调整（调整系数），比如本题中11222nnnn，在调整系数使之符合通项公式即可②求和：设na前n项和为nS1111111112324352nSnn，求和的关键在于确定剩下的项。通过观察可发现正项中11,2没有消去，负项中11,12nn没有消去。所以1111323122124212nnSnnnn-483-一般来说，裂开的2n项中有n个正项，n个负项，且由于消项的过程中是成对消掉。所以保留项中正负的个数应该相同。(5）分类求和：如果通项公式是前几种可求和形式的和与差，那么在求和时可将通项公式的项分成这几部分分别求和后，再将结果进行相加。例：61118231nSn可知通项公式为231nnan，那么在求和的过程中可拆成3部分：2,3,1nn分别求和后再相加1222112223123212nnnnnSnnn12352222nnn2、根据项的特点求和：如果数列无法求出通项公式，或者无法从通项公式特点入手求和，那么可以考虑观察数列中的项，通过合理的分组进行求和（1）利用周期性求和：如果一个数列的项按某个周期循环往复，则在求和时可将一个周期内的项归为一组求和，再统计前n项和中含多少个周期即可（2）通项公式为分段函数（或含有1n，多为奇偶分段。若每段的通项公式均可求和，则可以考虑奇数项一组，偶数项一组分别求和，但要注意两点：一是序数的间隔（等差等比求和时会影响公差公比），二是要对项数的奇偶进行分类讨论（可见典型例题）；若每段的通项公式无法直接求和，则可以考虑相邻项相加看是否存在规律，便于求和（3）倒序相加：若数列na中的第k项与倒数第k项的和具备规律，在求和时可以考虑两项为一组求和，如果想避免项数的奇偶讨论，可以采取倒序相加的特点，即：12nnSaaa11nnnSaaa两式相加可得：121112nnnnnSaaaaaanaa12nnnaaS二、典型例题-484-例1：已知函数211fxx，求：111122015201520142ffffff思路：观察可发现头尾的自变量互为倒数，所以考虑其函数值的和是否具备特点。即11fxfx，所以考虑第n个与倒数第n个放在一起求和，可用倒序相加法解：2...