三角形9级全等三角形的经典模型（二）三角形8级全等三角形的经典模型（一）三角形7级倍长中线与截长补短秋季班第四讲秋季班第三讲秋季班第二讲倍长中线与截长补短满分晋级漫画释义2倍长中线与截长补短教学目标：1掌握倍长中线的条件，学会运用倍长中线构造全等三角形，解决实际问题。2掌握截长补短的条件，学会运用截长补短构造全等三角形，解决实际问题。教学重点：判断倍长中线与截长补短的条件，构造全等三角形教学难点：灵活运用倍长中线与截长补短。教学对象：熟练掌握全等三角形的基础的同学。教学策略:自主、合作、探究先学后教，当堂训练。介绍:此讲义适合全等三角形基础掌握扎实的同学，让孩子们学会构造全等的同时，可以解决最后的拔高题目。大家互相学习，有不到之处，欢迎批评指正，谢谢知识互联网定义示例剖析倍长中线：即延长三角形的中线，使得延长后的线段是原中线的两倍．其目的是构造一对对顶的全等三角形；其本质是转移边和角．EDABC其中BDCD，延长AD使得DEAD，则BDECDA△≌△．【例1】已知ABC△中，AD平分BAC，且BDCD，求证：ABAC．1先让同学们讨论解决此题的方法及做法。2让同学们展示自己的解决方案。【解析】延长AD到E，使DEAD，连接CE．则CDEBDA△≌△，∴CEAB，CEDBAD， AD平分BAC，∴BADCAD，∴CEDCAD，∴CEAC，∴ABAC．【教师备选】教师可借用例1对等腰三角形三线合一性质的逆命题进行简单归纳：已知角平分线+中线证等腰三角形，如例1；已知角平分线+高证等腰三角形，如拓展1；思路导航例题精讲题型一：倍长中线EABCDABCD已知中线+高证等腰三角形，如拓展2．【拓展1】已知△ABC中，AD平分∠BAC，且AD⊥BC，求证：AB=AC．1先让同学们讨论解决此题的方法及做法。2让同学们展示自己的解决方案。【解析】 AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°∴△ABD≌△ACD(SAS)∴AB=AC．【拓展2】已知△ABC中，AD⊥BC，且BDCD，求证：AB=AC．1先让同学们讨论解决此题的方法及做法。2让同学们展示自己的解决方案。【解析】 AD⊥BC，且BDCD∴AD所在直线是线段BC的垂直平分线根据垂直平分线上的点到线段两端点距离相等故AB=AC．【例2】⑴如图，已知ABC△中，ABAC，CE是AB边上的中线，延长AB到D，使BDAB．给出下列结论：①AD=2AC；②CD=2CE；③∠ACE=∠BCD；④CB平分∠DCE，则以上结论正确的是．【解析】①正确． ABAC，BDAB，∴AD=2AC．②、④正确．延长CE到F，使EFCE，连接BF． CE是AB的中线，∴AEEB．在EBF△和EAC△中典题精练ABCDEDCBAAEBEAECBEFCEFE∴EBFEAC≌△△∴BFACABBD，EBFEAC∴FBCFBEEBCAACBDBC在FBC△和DBC△中FBDBFBCDBCBCBC∴FBCDBC≌△△∴2CDCFCE，∠FCB=∠DCB即CD=2CE，CB平分∠DCE．③错误． ∠FCB=∠DCB，而CE是AB边上中线而不是∠ACB的角平分线故∠ACE和∠BCD不一定相等．⑵如图，在△ABC中，点D、E为边BC的三等分点，给出下列结论：①BD=DE=EC；②AB+AE＞2AD；③AD+AC＞2AE；④AB+AC＞AD+AE，则以上结论正确的是．NMEDCBAEDCBA【解析】点D、E为边BC的三等分点，∴BD=DE=CE延长AD至点M，AE至点N，使得DM=AD，EN=AE，连接EM、CN，则可证明△ABD≌△MED，进而可得AB+AE＞2AD，再证明△ADE≌△NCE，进而可得AD+AC＞2AE，将两式相加可得到AB+AE+AD+AC＞2AD+2AE，即AB+AC＞AD+AE．∴①②③④均正确．【例3】如图，已知在ABC△中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，延长BE交AC于F，AFEF，求证：ACBE．FCAEBD【解析】延长AD到G，使DGAD，连接BG BDCD，BDGCDA，ADGD∴ADCGDB△≌△，∴ACGB，GEAF又 AFEF，∴EAFAEFBED∴GBED，∴BEBG，∴ACBE．【例4】在正方形ABCD中，PQ⊥BD于P，M为QD的中点，试探究MP与MC的关系．NABCDMPQQPMDCBA【解析】延长PM至点N，使PM=MN，连结CP、CN、DN．易证△PMQ≌△NMD，∴PB=PQ=DN，∠PQD=∠NDM∴PQ∥DN，又 ∠BPQ=∠BDN=90°∴∠PBQ=∠BDC=∠NDC=45°再证△BPC≌△DNC(SAS)易证△PCN为等腰直角三角形，又 PM=MN，∴PM⊥MC,且PM=CM．GFEDCBAFEDCBA定义示例剖析截长：即在一条较长的线段上截取一段较短的线段DCBA在线段AB上截取ADAC补短：即在较短的线段上补一段线段使其和较长的线段相等ABCD延长AC，...
