-710-第72炼圆锥曲线中的面积问题一、基础知识：1、面积问题的解决策略：（1）求三角形的面积需要寻底找高，需要两条线段的长度，为了简化运算，通常优先选择能用坐标直接进行表示的底（或高）。（2）面积的拆分：不规则的多边形的面积通常考虑拆分为多个三角形的面积和，对于三角形如果底和高不便于计算，则也可以考虑拆分成若干个易于计算的三角形2、多个图形面积的关系的转化：关键词“求同存异”，寻找这些图形的底和高中是否存在“同底”或“等高”的特点，从而可将面积的关系转化为线段的关系，使得计算得以简化3、面积的最值问题：通常利用公式将面积转化为某个变量的函数，再求解函数的最值，在寻底找高的过程中，优先选择长度为定值的线段参与运算。这样可以使函数解析式较为简单，便于分析4、椭圆与双曲线中焦点三角形面积公式（证明详见“圆锥曲线的性质”）（1）椭圆：设P为椭圆222210xyabab上一点，且12FPF，则122tan2PFFSb（2）双曲线：设P为椭圆22221,0xyabab上一点，且12FPF，则1221cot2PFFSb二、典型例题：例1：设12,FF为椭圆2214xy的左右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于,PQ两点，当四边形12PFQF的面积最大时，12PFPF的值等于___________思路：由椭圆中心对称的特性可知,PQ关于原点中心对称，所以12PFF与12QFF关于原点对称，面积相等。且四边形12PFQF可拆成12PFF与12QFF的和，所以四边形12PFQF的面积最大即12PFF面积最大，因为121212PFFppSFFycy，所以当py最大时，12PFF面积最大。即P位于短轴顶点时，12PFF面积最大。由2214xy可知-711-2,1,3abc，所以120,1,3,0,3,0PFF，进而计算出12PFPF的值为2答案：2例2：已知点P是椭圆2216251600xy上的一点，且在x轴上方，12,FF分别为椭圆的左右焦点，直线2PF的斜率为43，则12PFF的面积是（）A.323B.243C.322D.242思路：将椭圆化为标准方程为22110064xy，进而可得6c，所以126,0,6,0FF，计算12PFF的面积可以以12FF为底，yP为高，所以考虑利用条件计算出P的纵坐标，设,Pxy，则有2436PFykx，所以22162516004360xyyxy可解得43y或64319y（舍去），所以121211124324322PFFSFFy答案：B例3：已知F为抛物线2yx的焦点，点,AB在该抛物线上且位于x轴的两侧，2OAOB，则ABO与AFO面积之和的最小值是（）A.2B.3C.1728D.10思路：由2OAOB入手可考虑将向量坐标化，设1122,,,AxyBxy，则12122xxyy，进而想到可用韦达定理。所以设AB与x轴交于,0Mm直线:ABxtym。联立方程220yxytymxtym，所以2221212120,yymxxyym，所以由12122xxyy可得：222mmm，所以122yy，不妨设A在x轴上方，如图可得：12112119228ABOAFOSSOMyyOFyy，由12yy可知212yy，-712-消元后可得：111192922388ABOAFOSSyyyy，等号成立当且仅当143y，所以ABOAFOSS的最小值为3答案：B例4：抛物线24yx的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为3的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AKl，垂足为K，则AFK的面积是（）A.4B.33C.43D.8思路：斜率为3可知直线的倾斜角为3，从而可得3KAF，所以在计算面积时可利用两边与夹角，所以可得1sin23AKFSAKAF，由抛物线性质可得AKAF，所以只需求得焦半径AF，即只需解出A点横坐标。利用几何关系可得12AxOFFMOFAF，另一方面，由焦半径公式可得：1AAFx，所以可得方程：1132AAAxOFxx，从而14AAFx，所以21sin4323AKFSAF答案：C小炼有话说：（1）本题的解法是利用题目中的几何关系求解，绕过代数运算，而突破点即为直线的倾斜角3，所以当题目中出现特殊角时，可以考虑蕴含其中的几何特点，从而使得运算更为简单。（2）本题的Ax也可通过联立方程，使用代数方法解决，方法步骤如下：由抛物线方程可得：1,0F，设:31lyx，联立方程：22431431yxxxyx，整理可得：231030xx3x或13x-713-323xy或13233xy（舍）3Ax例5：以椭圆22195xy的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线C，其左右焦点分别为12,FF，已知点M的坐标为2,1，双曲线C上点0000,0,0Pxyxy满足11211121PFMFFFMFPFFF，则12PMFPMFSS等于（）A.2B.4C.1D.1思路：可先利用椭圆确定双曲线方程及其焦点坐标，22195xy的顶点为3,0,3,0，即为12,FF的坐标，椭圆的焦点为2,0,2,0，所以双曲线中2,3ac，进而5b观察11211121PFMFFFMFPFFF可联...
