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第四章最小二乘法与组合测量§1概述最小二乘法是用于数据处理和误差估计中的一个很得力的数学工具。对于从事精密科学实验的人们来说，应用最小乘法来解决一些实际问题，仍是目前必不可少的手段。例如，取重复测量数据的算术平均值作为测量的结果，就是依据了使残差的平方和为最小的原则，又如，在本章将要用最小二乘法来解决一类组合测量的问题。另外，常遇到用实验方法来拟合经验公式，这是后面一章回归分析方法的内容，它也是以最小二乘法原理为基础。最小二乘法的发展已经经历了200多年的历史，它最先起源于天文和大地测量的需要，其后在许多科学领域里获得了广泛应用，特别是近代矩阵理论与电子计算机相结合，使最小二乘法不断地发展而久盛不衰。本章只介绍经典的最小二乘法及其在组合测量中的一些简单的应用，一些深入的内容可参阅专门的书籍和文献。§2最小二乘法原理最小二乘法的产生是为了解决从一组测量值中寻求最可信赖值的问题。对某量x测量一组数据x,x,…,x,假设数据中不存在系统误差和粗大误差，相互独12n立，服从正态分布，它们的标准偏差依次为：aq,•••◎记最可信赖值为x,相12n应的残差v=x-x。测值落入(x,x+dx)的概率。iiii根据概率乘法定理，测量x,x,…,x同时出现的概率为12n显然，最可信赖值应使出现的概率P为最大，即使上式中页指数中的因子达最小，即ry21权因子：w二一即权因子w*丄，贝yiy2iy2ii再用微分法，得最可信赖值x工wxX=十二即加权算术平均值Kwii=1这里为了与概率符号区别，以①表示权因子。i特别是等权测量条件下，有：以上最可信赖值是在残差平方和或加权残差平方和为最小的意义下求得的称之为最小二乘法原理。它是以最小二乘方而得名。为从一组测量数据中求得最佳结果，还可使用其它原理。例如（1）最小绝对残差和法：工|v|=Mini（2）最小最大残差法：max”|=Mini（3）最小广义权差法：maxv-minv=Minii以上方法随着电子计算机的应用才逐渐引起注意，但最小二乘法便于解析，至今仍用得最广泛。§3.线性参数最小二乘法先举一个实际遇到的测量问题，为精密测定三个电容值：x,x,x采用的测123量方案是，分别等权、独立测得x,x,x+x,x+x,列出待解的数学模型。121323x=0.31x=-0.42x+x=0.513x+x=-0.323这是一个超定方程组，即方程个数多于待求量个数，不存在唯一的确定解，事实上，考虑到测量有误差，记它们的测量误差分别为v,v,v,v，按最小二乘1234法原理工v2=Min分别对x,x,x求偏导数，令它们等于零，得如下的确定性方程i123组。(x-0.3)+(x+x-0.5)=0113(x+0.4)+(x+x+0.3)=0223(x+x-0.5)+(x+x+0.3)=01323可求出唯一解x=0.325,x=-0.425,x=0.150这组解称之为原超定方程组123的最小二乘解。以下，一般地讨论线性参数测量方程组的最小二乘解及其精度估计。一、正规方程组设线性测量方程组的一般形式为：即式中，有n个直接测得值y,y,…,y，t个待求量x,x,…,x°n>t,各y等12n12ti权，无系统误差和粗大误差。固y含有测量误差，每个测量方程都不严格成立，故有相应的测量残差方程i组y实测值ix待估计量，最佳估计值，最可信赖值j工ax最可信赖的“y"值。ijjj=1式中，AX=Y般意义下的方程按最小二乘法原理，待求的x应满足j上式分别对x求偏导数，且令其等于零，经推导得j[aa]x+[aa]xHH[aa]x=[ay]1111221tt1_[aa]x+[aa]xHH[aa]x=[ay]丁丰巾七工口厶口2112222tt2〉止规力程组[aa]x+[aa]xHF[aa]x=[ay]t11t22tttta,y分别为如下列向量jg］和［孕］分别为如下两列向量的内积:[aa]=aa+aaHFaalk1l1k2l2knlnk[ay]二ay+ayHFayj1j12j2njn正规方程组有如下特点：1）主对角线系数是测量方程组各列系数的平方和，全为正数。2）其它系数关于主对角线对称3）方程个数等于待求量个数，有唯一解。由此可见，线性测量方程组的最小二乘解归结为对线性正规方程组的求解。为了便于进一步讨论问题，下面借助矩阵工具给出正规方程组的矩阵形式。记列向量和nXt阶矩阵则测量方程组可记为：测量残差方程组记为当估计出的x已经是最可信赖的值，贝yAX是y的最佳结果。ji最小二乘原理记为利用矩阵的导数及其性质有令（VrV）二0，得正规方程组的矩阵形式。dx展开系数矩阵ATA和列向量ATL，可得代数形式的正...