奥数-游戏与策略VIP免费

1.有一筐苹果53个，甲乙两人轮流从中拿走1个或2个苹果，规定谁拿走最后1个苹果，谁获胜。如果甲先拿，那么他有没有必胜的策略。【分析与解】这与抢报30所采取的策略类似。甲要取胜，甲必须先拿到第53个苹果才行。依此向前倒推，甲要先拿第50个、第47个、第44个，……，第5个，第2个。2.有一个3X3的棋盘格以及9张大小为一个方格的卡片，9张卡片上分别写有1、3、4、5、6、7、8、9、10九个数。甲、乙两人做游戏，轮流取一张卡片放到九格中的一格，由甲方计算上、下两行六个数的和；乙方计算左、右两列六个数字的和，和数大的一方为胜，试问：先取的一方(甲方)一定能胜吗？【分析与解】由于四个角上的数都是两人共有的，因而和数的大小只与放在A、B、C、D这四格中的数有关。□□M□□甲方要获胜，必须采取：(1)尽可能地将大数字填入A格或C格；(2)尽可能地将小的数字填入B格或D格。由于1+10V3+9,甲应先将1放进B格。接下来，如果乙把10放进D格，甲再把9放进A格。这时不论乙怎么放，C格中一定放有大于或等于3的数，因而甲方一定获胜；如果乙把3放进A格，甲方只需将9放进C格，甲方也一定获胜。3.有九张卡片，分别写着1、2、3、4、5、6、7、8、9。甲、乙两人轮流取1张，谁手上的三张卡片数字加起来等于15,谁就取胜。问保证不败的对策是什么？【分析与解】从1、2、……8、9中选三个数，使得和为15,有如下八组：①1、5、9；②2、4、9；③2、5、8；④2、6、7；⑤3、4、8；⑥3、5、7；⑦4、5、6；⑧1、6、8。每个人要保证不败，就应使对方不能获胜，选数的原则应该是：(1)使自己所占的可能性尽量多；(2)尽量破坏对方取胜的可能性。从上面八组数中看出：数字“5”在8组数中出现的次数最多(共4次)，左列右列上行下疔所以谁先选5,谁就比较占优势。不妨假设甲先取5。对于乙来说,他只剩下2、4、9；2、6、7；3、4、8；1、6、8这四种可能，为了使自己组成15的可能性尽可能大，乙应取2（或4、6、8）。接着又轮到甲取了，一方面，他既要破坏乙的可能性，又要使自己尽快达到15，所以应取4或6。如果甲取4，甲已取两数之和是5＋4=9。这时，甲只要再取6就获胜了。为了破坏甲取胜，乙就应接着取6，这样，乙已取两数之和就是2＋6=8，乙只要再取7就会获胜。所以，第三次甲应该取7，就彻底破坏了乙取胜的可能，上面的过程就是甲保持不败的对策，其它情况类推。4.两人轮流报数，规定每次报数都是不超过8的自然数，把两人报的数累加起来，谁先得到88，谁就获胜，问先报数者有无必胜的策略？【答案】先报者有必胜策略。5.在黑板上写下数2,3,4,・・・，1994，甲先擦去其中一个数，然后，乙再擦出一个数，如此轮流下去。若最后剩下两个互质数时，甲胜，若最后剩下两个数不互质时，乙胜，试说明，甲先擦数，存在必胜的策略。【答案】甲先擦去2,将剩下1992个自然数配对：（3,4）,（5,6）,…，（1993,1994），乙取某组中的一个，甲接着取其中的另一个。最后剩余一组,必互质,甲胜。6.甲、乙二人轮流报数,必须报不大于6的自然数,把两人报出的数依次加起来,谁报数后加起来的数是2000,谁就获胜.如果甲要取胜,是先报还是后报？报几？以后怎样报？【分析】采用倒推法（倒推法是解决这类问题一种常用的数学方法）.由于每次报的数是1〜6的自然数，2000-1=1999,2000-6=1994,甲要获胜，必须使乙最后一次报数加起来的和的范围是1994〜1999，由于1994-1=1993（或1999-6=1993）,因此,甲倒数第二次报数后加起来的和必须是1993.同样，由于1993-1=1992，1993-6=1987，所以要使乙倒数第二次报数后加起来的和的范围是1987〜1992，甲倒数第三次报数后加起来的和必须是1986.同样，由于1986-1=1985，1986-6=1980，所以要使乙倒数第三次报数后加起来的和的范围是1980〜1985，甲倒数第四次报数后加起来的和必须是1979,-.把甲报完数后加起来必须得到的和从后往前进行排列：2000、1993、1986、1979、・・・.观察这一数列，发现这是一等差数列，且公差d=7，这些数被7除都余5.因此这一数列的最后三项为：19、12、5.所以甲要获胜，必须先报，报5.因为12-5=7，所以以后乙报几，甲就报7减几，例如乙报3，甲就接着报4（=7-3）.解：①甲要获胜必须先报，甲...