一元二次方程根的两个特性及简单运用VIP专享VIP免费

一元二次方程根的两个特性及简单运用我们知道方程的解是由方程的系数（包括常数项）决定的。因此，一元二次方程的根与其系数有着密切的联系。教材中我们探索了一元二次方程的二次项系数为1的情况下的两根之和、两根之积与系数的关系。现在我们接着来探索一般形式下的一元二次方程的两根之和、两根之积与系数的关系。例1、先阅读，再填空解题：(1)方程：x2-4x-12=0的根是：x1=6,x2=-2，则x1+x2=4，x1·x2=-12；(2)方程2x2-7x+3=0的根是：x1=,x2=3，则x1+x2=，x1·x2=；(3)方程3x2+6x-2=0的根是：x1=,x2=.则x1+x2=，x1·x2=；根据以上（1）(2)(3)你能否猜出：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0且a、b、c为常数）的两根为x1、x2，那么x1+x2、x1x2与系数a、b、c有什么关系？请写出来你的猜想并说明理由。解析：方程3x2+5x-2=0的根是：x1=x2=-2。则x1+x2=，x1·x2=。能猜出：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0且a、b、c为常数）的两根为x1、x2，那么x1+x2、x1x2。理由如下：根据求根公式可知，关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0且a、b、c为常数）的两根为：，所以x1+x2=+x1x2=·也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，这个方程的两个根与系数的关系是：两根之和，等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积，等于常数项除以二次项系数所得的商．下面我们再来探索一元二次方程根的另一个特性。例2、计算并观察下列一元二次方程根的特点：(1)x2-x-3=0(2)2x2-8x+5=0(3)x2-3x+1=0观察以上（1）(2)(3)的解，你能否猜出：如果关于x的一元二次方程mx2+nx+p=0（m≠0且m、n、p为有理数，为无理数）的两根为x1、x2，那1/2么x1与x2之间什么关系？请写出你的猜想并说明理由。解析：(1)方程：x2-x-3=0的根是：x1=,x2=；(2)方程2x2-8x+5=0的根是：x1=,x2=；(3)方程x2-3x+1=0的根是：x1=,x2=。能猜出：如果关于x的一元二次方程mx2+nx+p=0（m≠0且m、n、p为有理数，为无理数）的两根为x1、x2，那么x1与x2之间的关系是：两根均和，即“有理部分”相同，“无理部分”互为相反数。理由如下：根据求根公式可知，关于x的一元二次方程mx2+nx+p=0（m≠0且m、n、p为有理数，为无理数）的两根为：，两根均为和的形式，即“有理部分”相同，“无理部分”互为相反数。下面我们运用以上性质来巧解一题。例3、如果一个有理系数的一元二次方程x2+bx+c=0的一个根为，求b+c的值。解析：因为有理系数的一元二次方程x2+bx+c=0的一个根为，则该方程的另一个根为。再利用根与系数的关系可得：b=-4，c=1。所以b+c=-3。关于一元二次方程的根与系数的关系还有许多运用，希望大家在今后的学习中逐步体会。2/2