【优化探究】2013届高三数学二轮复习专题演练1-6-3第三讲立体几何中的向量方法一、选择题1．已知a＝(2，4，－5)，b＝(3，x，y)，若a∥b，则x＋y＝()A．－9B．－C．－3D．－解析：由a∥b，得＝＝，解得x＝6，y＝－，故x＋y＝6－＝－.答案：D2．(2012年杭州模拟)已知a＝(－1，2，1)，b＝(2，－1，1)，则|a＋tb|的最小值是()A．2B.C.D．3解析：由已知得a＋tb＝(2t－1，2－t，t＋1)，所以|a＋tb|2＝(2t－1)2＋(2－t)2＋(t＋1)2＝6t2－6t＋6＝6(t2－t)＋6＝6(t－)2＋≥，所以|a＋tb|的最小值为.答案：B3．已知二面角αlβ的大小为60°，点B、C在棱l上，A∈α，D∈β，AB⊥l，CD⊥l，AB＝BC＝1，CD＝2，则AD的长为()A．2B.C．2D.解析：由题意知|AB|＝|BC|＝1，|CD|＝2，AB⊥BC，CD⊥BC，〈AB，CD〉＝120°，AD＝AB＋BC＋CD，则|AD|2＝|AB|2＋|BC|2＋|CD|2＋2AB·BC＋2BC·CD＋2AB·CD＝1＋1＋4＋2×1×2×cos120°＝4，故|AD|＝2.答案：A4．如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABCA1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为()A.B.C.D.解析：利用向量法求解．不妨令CB＝1，则CA＝CC1＝2.可得O(0，0，0)，B(0，0，1)，C1(0，2，0)，A(2，0，0)，B1(0，2，1)，∴BC1＝(0，2，－1)，AB1＝(－2，2，1)，∴cos〈BC1，AB1〉＝＝＝＝>0. BC1与AB1的夹角即为直线BC1与直线AB1的夹角，∴直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为.1答案：A5．(2012年宝鸡中学月考)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝1，AC＝2，BC＝，D、E分别是AC1和BB1的中点，则直线DE与平面BB1C1C所成的角为()A.B.C.D.解析：由AB＝1，AC＝2，BC＝可得AB2＋BC2＝AC2，故AB⊥BC.又由直棱柱的性质可知BB1⊥平面ABC.如图，以B为坐标原点建立空间直角坐标系，设棱BB1的长为h，则E(0，0，)，A(0，1，0)，C1(，0，h)，D(，，)，故DE＝(－，－，0)．因为BB1⊥平面ABC，所以BB1⊥AB，又因为AB⊥BC，所以AB⊥平面BB1C1C，故BA＝(0，1，0)是平面BB1C1C的一个法向量．设直线DE与平面BB1C1C所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈BA，DE〉|＝||＝＝.又因为θ∈[0，]，所以θ＝.答案：A二、填空题6．如图，已知三棱柱ABCA1B1C1的各条棱长都相等，且CC1⊥底面ABC，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角为________．解析：由题意可知该三棱柱为正三棱柱，设其棱长为2，BA＝a，BB1＝b，BC＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝2，且〈a，c〉＝，〈a，b〉＝〈b，c〉＝，所以a·c＝2×2×cos＝2，a·b＝b·c＝0.而AB1＝b－a，BM＝c＋b，所以AB1·BM＝(b－a)·(c＋b)＝b·c＋b2－a·c－a·b＝0，故〈AB1，BM〉＝，即异面直线AB1与BM所成的角为.答案：7．如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，M，N分别是C1D1，CC1的中点，则直线B1N与平面BDM所成角的正弦值为________．解析：以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，则B1(2，2，2)，N(0，2，1)，NB1＝(2，0，1)，又M(0，1，2)，D(0，0，0)，B(2，2，0)，则DB＝(2，2，0)，DM＝(0，1，2)，可得平面BDM的一个法向量n＝(2，－2，1)，因为cos〈n，NB1〉＝＝，故直线B1N与平面BDM所成角的正弦值是.答案：8．如图，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，PA＝AC＝1，BC＝，则二面角APBC的余弦值大小为________．2解析：以C为原点，CA为x轴，CB为y轴建立空间直角坐标系Cxyz，因为A(1，0，0)，B(0，，0)，C(0，0，0)，P(1，0，1)，∴AP＝(0，0，1)，PB＝(－1，，－1)，CB(0，，0)，设平面APB的法向量为n1(x1，y1，z1)，平面PBC的法向量为n2(x2，y2，z2)，则∴n1＝(2，，0)，n2＝(－1，0，1)，∴cos〈n1，n2〉＝＝－，∴二面角APBC的余弦值为.答案：三、解答题9．(2012年济南模拟)三棱锥PABC中，∠BAC＝90°，PA＝PB＝PC＝BC＝2AB＝2.(1)求证：平面PBC⊥平面ABC；(2)求二面角BAPC的余弦值．解析：(1)证明：取BC的中点O，连接AO、PO，因为△ABC为直角三角形，所以OA＝OB＝OC，又知PA＝PB＝PC，OP为公共边，则△POA≌△POB≌△POC，所以∠POA＝∠POB＝∠POC＝90°，所以PO⊥OB，PO⊥OA.又OB∩OA＝O，所以PO⊥平面ABC.又因为PO⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面ABC.(2)过O作OD⊥BC，交AC于...
