矩阵选讲(习题课)解答题(本大题共10小题，每小题10分，共100分．解答应写出文字说明、证明过程或演算过程)1．(2012年高考江苏卷)已知矩阵A的逆矩阵A－1＝，求矩阵A的特征值．解析：因为A－1A＝E，所以A＝(A－1)－1.因为A－1＝，所以A＝(A－1)－1＝，于是矩阵A的特征多项式为f(λ)＝＝λ2－3λ－4.令f(λ)＝0，解得A的特征值λ1＝－1，λ2＝4.2．设数列{an}、{bn}满足an＋1＝2an＋3bnbn＋1＝2bn，且满足＝M，求二阶矩阵M.解析：依题设有＝，令A＝，则M＝A4，A2＝＝.M＝A4＝(A2)2＝＝.3．(2012年福州质检)已知矩阵T＝，O是坐标原点，点A(1，0)在矩阵T的变换下得到点P.设b>0，当△POA的面积为，∠POA＝时，求a，b的值．解析：∵＝，∴p(a，b)，又∵b>0，∠POA＝，∴S△AOP＝×1×sin＝，又S△OPA＝×1×b＝，∴a＝2，b＝2.4．已知矩阵M＝，N＝.在平面直角坐标系中，设直线2x－y＋1＝0在矩阵MN对应的变换作用下得到曲线F，求曲线F的方程．解析：由题设得MN＝＝，设(x，y)是直线2x－y＋1＝0上任意一点，点(x，y)在矩阵MN对应的变换作用下变为(x′，y′)，则有＝，即＝，所以因为点(x，y)在直线2x－y＋1＝0上，从而2x′－(－y′)＋1＝0，即2x′＋y′＋1＝0，所以曲线F的方程为2x＋y＋1＝0.5．已知二阶矩阵A有特征值λ1＝3及其对应的一个特征向量α1＝，特征值λ2＝－1及其对应的一个特征向量α2＝，求矩阵A的逆矩阵A－1.解析：设二阶矩阵A＝，则有＝3，且＝－，即且解得a＝1，b＝2，c＝2，d＝1.∴A＝，从而A－1＝.6．已知二阶矩阵A＝，矩阵A属于特征值λ1＝－1的一个特征向量为α1＝，属于特征值λ2＝4的一个特征向量为α2＝.求矩阵A.解析：由特征值、特征向量定义可知，Aα1＝λ1α1，即＝－1×，得1同理可得解得a＝2，b＝3，c＝2，d＝1.因此矩阵A＝.7．已知二阶矩阵M有特征值λ＝3及对应的一个特征向量e＝，并且矩阵M对应的变换将点(－1，2)变换成(9，15)．求矩阵M.解析：设M＝，则＝3＝，故.＝，故.联立以上两方程组解得a＝－1，b＝4，c＝－3，d＝6，故M＝.8．已知矩阵A＝，向量α＝.(1)求A的特征值λ1，λ2和特征向量α1，α2；(2)计算A5α的值．解析：(1)矩阵A的特征多项式为f(λ)＝＝λ2－5λ＋6，由f(λ)＝0解得λ1＝2，λ2＝3.当λ1＝2时，解得α1＝，当λ2＝3时，解得α2＝.(2)由α＝mα1＋nα2得，解得m＝3，n＝1.则A5α＝A5(3α1＋α2)＝3(A5α1)＋A5α2＝3(λα)＋λα2＝3×25＋35＝.9．(2012年高考福建卷)设曲线2x2＋2xy＋y2＝1在矩阵A＝(a>0)对应的变换作用下得到的曲线为x2＋y2＝1.(1)求实数a，b的值；(2)求A2的逆矩阵．解析：(1)设曲线2x2＋2xy＋y2＝1上任意点P(x，y)在矩阵A对应的变换作用下的像是P′(x′，y′)．由＝＝，得又点P′(x′，y′)在x2＋y2＝1上，所以x′2＋y′2＝1，即a2x2＋(bx＋y)2＝1，整理得(a2＋b2)x2＋2bxy＋y2＝1.依题意得解得或因为a>0，所以(2)由(1)知，A＝，A2＝＝.所以|A2|＝1，(A2)－1＝.10．已知矩阵M＝的两个特征值分别为λ1＝－1和λ2＝4.(1)求实数a，b的值；(2)求直线x－2y－3＝0的矩阵M所对应的线性变换作用下的像的方程．解析：(1)矩阵M＝的特征多项式为f(λ)，∴f(λ)＝(λ－2)(λ－b)－2a＝λ2－(b＋2)λ＋2b－2a，由已知λ1＝－1，λ2＝4为f(λ)＝0的两根，∴解得(2)由(1)知M＝.设直线x－2y－3＝0上任意一点(x，y)在矩阵M所对应的线性变换作2用下的像是(x′，y′)，由＝＝，得解得代入x－2y－3＝0得－2×－3＝0，即5x′－7y′＋12＝0，于是点(x′，y′)必在直线5x－7y＋12＝0上．由(x，y)的任意性可知，直线x－2y－3＝0在矩阵M所对应的线性变换作用下的像的方程为5x－7y＋12＝0.3
