2、3简单的三角恒等变换练习二一、选择题：1.已知cos（α+β）cos（α－β）=，则cos2α－sin2β的值为（）A.－B.－C.D.2.在△ABC中，若sinAsinB=cos2，则△ABC是（）A.等边三角形B.等腰三角形C.不等边三角形D.直角三角形3.sinα+sinβ=（cosβ－cosα），且α∈（0，π），β∈（0，π），则α－β等于（）A.－B.－C.D.4.已知sin（α+β）sin（β－α）=m，则cos2α－cos2β等于（）A.－mB.mC.－4mD.4m二、填空题5.sin20°cos70°+sin10°sin50°=_________.6.已知α－β=，且cosα+cosβ=，则cos（α+β）等于_________.三、解答题7.求证：4cos（60°－α）cosαcos（60°+α）=cos3α.8.求值：tan9°+cot117°－tan243°－cot351°.9.已知tan，tanαtanβ=，求cos（α－β）的值.10.已知sinα+sinβ=，cosα+cosβ=，求tan（α+β）的值.11.已知f（x）=－+，x∈（0，π）.（1）将f（x）表示成cosx的多项式；（2）求f（x）的最小值.12.已知△ABC的三个内角A、B、C满足：A+C=2B，，求cos的值.13．已知sinA+sin3A+sin5A=a，cosA+cos3A+cos5A=b，求证：（2cos2A+1）2=a2+b2.14．求证：cos2x+cos2（x+α）－2cosxcosαcos（x+α）=sin2α.15．求函数y=cos3x·cosx的最值.答案：一、选择题1.C2.B3.D4.B二、填空题5.6.－三、解答题7.证明：左边=2cosα［cos120°+cos（－2α）］=2cosα（－+cos2α）=－cosα+2cosα·cos2α=－cosα+cos3α+cosα=cos3α=右边.8.解：tan9°+cot117°－tan243°－cot351°=tan9°－tan27°－cot27°+cot9°====4.9.解：∵tanαtanβ=，∴cos（α－β）=－cos（α+β）.又tan，∴cos（α+β）=，从而cos（α－β）=－×（－）=.10.解：，由和差化积公式得=3，∴tan=3，从而tan（α+β）=.11.解：（1）f（x）==cos2x+cosx=2cos2x+cosx－1.（2）∵f（x）=2（cosx+）2－，且－1≤cosx≤1，∴当cosx=－时，f（x）取得最小值－.12.分析：本小题考查三角函数的基础知识，利用三角公式进行恒等变形和运算的能力.解：由题设条件知B=60°，A+C=120°，∵－=－2，∴=－2.将上式化简为cosA+cosC=－2cosAcosC，利用和差化积及积化和差公式，上式可化为2coscos=－［cos（A+C）+cos（A－C）］，将cos=cos60°=，cos（A+C）=cos120°=－代入上式得cos=－cos（A－C），将cos（A－C）=2cos2（）－1代入上式并整理得4cos2（）+2cos－3=0，即［2cos－］［2cos+3］=0.∵2cos+3≠0，∴2cos－=0.∴cos=.13．证明：由已知得∴两式平方相加得（2cos2A+1）2=a2+b2.14．证明：左边=（1+cos2x）+［1+cos（2x+2α）］－2cosxcosαcos（x+α）=1+［cos2x+cos（2x+2α）］－2cosxcosαcos（x+α）=1+cos（2x+α）cosα－cosα［cos（2x+α）+cosα］=1+cos（2x+α）cosα－cosαcos（2x+α）－cos2α=1－cos2α=sin2α=右边，∴原不等式成立.15．解：y=cos3x·cosx=（cos4x+cos2x）=（2cos22x－1+cos2x）=cos22x+cos2x－=（cos2x+）2－.∵cos2x∈［－1，1］，∴当cos2x=－时，y取得最小值－；当cos2x=1时，y取得最大值1.
