平面向量的数量积 (3)VIP专享VIP免费

平面向量的数量积一、引入：一个物体在力F的作用下产生的位移s，那么力F所做的功应当怎样计算？SFθ力做的功：W=|F||s|cos，是F与s的夹角向量的数量积1．两个非零向量夹角的概念说明：（1）当θ＝0时，a与ｂ同向；（2）当θ＝π时，a与ｂ反向；（3）当θ＝π/2时，a与ｂ垂直，记a⊥ｂ；（4）注意在两向量的夹角定义中，两向量必须是同起点的.范围0≤≤180baOabO已知非零向量a与ｂ，作＝a，＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（0≤θ≤π）叫a与ｂ的夹角.OB�OA�平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量a与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cos叫a与ｂ的数量积，记作ab，即有ab=|a||b|cos，（０≤θ≤π）.规定0与任何向量的数量积为0。探究：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos的符号所决定。（2）两个向量的数量积称为内积，写成ab；符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.（3）在实数中，若a0，且ab=0，则b=0；在数量积中，若a0，且ab=0，能不能推出b=0？为什么？（4）由ab=bc能否推出a=c？(5)在实数中，有(ab)c=a(bc)，但是(ab)ca(bc)显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，而一般a与c不共线。3．“投影”的概念：定义：|b|cos叫做向量b在a方向上的投影。投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当=0时投影为|b|；当=180时投影为|b|。4．向量的数量积的几何意义：数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos的乘积。5．两个向量的数量积的性质：设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量。1ea=ae=|a|cos2abab=03当a与b同向时，ab=|a||b|；当a与b反向时，ab=|a||b|。特例：aa=|a|2或aaa||4cos=||||baba5|ab|≤|a||b|例1判断正误，并简要说明理由.①a·0＝0；②0·a＝0；③0－＝；④｜a·ｂ｜＝｜a｜｜ｂ｜；⑤若a≠0，则对任一非零ｂ有a·ｂ≠0；⑥a·ｂ＝0，则a与ｂ中至少有一个为0；⑦对任意向量a，ｂ，с都有（a·ｂ）с＝a•(ｂ·с）；⑧a与ｂ是两个单位向量，则a２＝ｂ２.BAAB�例2已知｜a｜＝3，｜ｂ｜＝6，当①a∥ｂ，②a⊥ｂ，③a与ｂ的夹角是60°时，分别求a·ｂ.例3判断下列命题的真假：在△ABC中，若，则△ABC是锐角三角形；在△ABC中，若,则△ABC是钝角三角形；△ABC为直角三角形的充要条件是0ABBC�0ABBC�0ABBC�例3判断下列命题的真假：在△ABC中，若，则△ABC是锐角三角形；在△ABC中，若,则△ABC是钝角三角形；△ABC为直角三角形的充要条件是0ABBC�0ABBC�0ABBC�例4试证明：若四边形ABCD满足则四边形ABCD为矩形.0,0,ABCDABBC�且例5设正三角形ABC的边长为2,,,,.ABcBCaCAbabbcca�求