【创新设计】-版高中数学1.2.3.3简单的线面角及点面线面距离同步训练苏教版必修21.若正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长为1,AB1与底面ABCD成60°角,则A1C1到底面ABCD的距离为________.解析依题可知∠B1AB=60°,平面A1B1C1D1∥平面ABCD,A1C1⊂平面A1B1C1D1,∴B1B即为A1C1到底面ABCD的距离.B1B=.答案2.如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱长为,底面三角形的边长为1,则BC1与侧面ACC1A1所成的角是________.解析作BD⊥AC于点D,连接C1D,则BD⊥平面ACC1A1,∴∠BC1D为所求,sin∠BC1D===,∴∠BC1D=30°.答案30°3.如图,在底面为菱形的四棱锥P-ABCD中,PA=AB=a,PB=PD=a,AC=a,则直线PC与底面ABCD所成角的大小为________.解析 PA=AB=a,PB=a,即PA2+AB2=PB2,∴PA⊥AB,同理可证PA⊥AD,又AD∩AB=A,∴PA⊥平面ABCD,则∠PCA为直线PC与底面ABCD所成的角, AC=a,∴∠PCA=45°.答案45°4.已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长与底面边长相等,则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值为________.解析如图,取A1C1的中点D,可知B1D⊥平面ACC1A1,则∠DAB1为AB1与侧面ACC1A1所成的角.sin∠DAB1===.答案5.正方体ABCD-A1B1C1D1中,A1C1与平面ABC1D1所成角的正弦值为________.解析作A1E⊥AD1于点E,则A1E⊥平面ABC1D1,且点E为AD1的中点,sin∠A1C1E==.答案6.如图,已知AB是圆O的直径,C为圆上一点,AB=2,AC=1,P为⊙O所在平面外一点,且PA垂直于圆O所在平面,PB与平面所成的角为45°.(1)求证:BC⊥平面PAC;(2)求点A到平面PBC的距离.(1)证明 PA⊥平面ABC,∴PA⊥BC. AB是圆O的直径,C为圆上一点,∴BC⊥AC.又 PA∩AC=A,∴BC⊥平面PAC.(2)解如图,过点A作AD⊥PC于点D, BC⊥平面PAC,AD⊂平面PAC,∴BC⊥AD,∴AD⊥平面PBC.∴AD即为点A到平面PBC的距离.∴依题意知∠PBA为PB与平面ABC所成角,即∠PBA=45°,∴PA=AB=2,AC=1,可得PC=. AD·PC=PA·AC.∴AD==,即点A到平面PBC的距离为.7.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,F是AD的中点,G为AB上一点,若CF⊥FG,则∠C1FG的大小是________.解析如图, ∴FG⊥平面C1CF.又 C1F⊂平面C1CF,∴FG⊥C1F,即∠C1FG=.答案8.已知平面α外两点A、B到平面α的距离分别是2和4,则A,B的中点P到平面α的距离是________.解析若A,B在α同侧,如图①,则P到α距离为3;若A,B在α异侧,如图②,则P到α距离为PO′-OO′=3-2=1.答案3或19.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面是边长为2的菱形,且∠ABC=45°,PA=AB,则直线AP与平面PBC所成角的正切值为________.解析作AE⊥BC于点E,则BC⊥平面PAE,故∠APE为所求.AE=ABsin45°=,∴tan∠APE==.答案10.正三棱锥P-ABC的高为2,侧棱与底面所成角为45°,则点A到侧面PBC的距离是________.解析如图,取BC中点D,作AE⊥PD于点E,则AE为所求.由∠PAO=45°,PO=2,可求PA=2,AO=2,AD=3,PD=,由PD·AE=PO·AD,可得AE=.答案11.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中点.(1)证明:CD⊥AE;(2)证明:PD⊥平面ABE.证明(1)在四棱锥P-ABCD中,因PA⊥底面ABCD,CD⊂平面ABCD,故PA⊥CD. AC⊥CD,PA∩AC=A,∴CD⊥平面PAC.而AE⊂平面PAC,∴CD⊥AE.(2)由PA=AB=BC,∠ABC=60°,可得AC=PA. E是PC的中点,∴AE⊥PC.由(1)知,AE⊥CD,且PC∩CD=C,∴AE⊥平面PCD.而PD⊂平面PCD,∴AE⊥PD. PA⊥底面ABCD,∴PA⊥AB又 AB⊥AD,AB⊥平面PAD,又 PD⊂平面PAD.∴AB⊥PD.又 AB∩AE=A,∴PD⊥平面ABE.12.如图,已知P为矩形ABCD所在平面外一点,且PA⊥平面ABCD,Q为AP的中点,AB=3,BC=4,PA=2,求:(1)点Q到直线BD的距离;(2)点P到平面BQD的距离.解(1) PA⊥平面ABCD,∴QA⊥BD过A作AH⊥BD于点H,连接QH. QA⊥BD,BD⊥AH,QA∩AH=A.∴BD⊥平面AHQ.∴BD⊥QH,∴QH即为Q点到直线BD的距离.在Rt△BAD中,BA=3,AD=4,∴BD=5,∴AH=.在Rt△QAH中,QH===.∴点Q到直线BD的距离为.(2)连接DQ、BQ. PA和平面BQD相交于Q点,且Q是PA的中点,∴点P到平面BQD的距离...