第三章函数的应用3．1函数与方程3．1.1方程的根与函数的零点基础达标1．下列图象表示的函数中没有零点的是()．解析B，C，D的图象均与x轴有交点，故函数均有零点，A的图象与x轴没有交点，故函数没有零点．答案A2．根据表格中的数据，可以断定函数f(x)＝ex－x－2的一个零点所在的区间是().x－10123ex0.3712.727.3920.09x＋212345A.(－1,0)B．(0,1)C．(1,2)D．(2,3)解析由上表可知f(1)＝2.72－3＜0，f(2)＝7.39－4＞0，∴f(1)·f(2)＜0，∴f(x)在区间(1,2)上存在零点．答案C3．函数f(x)＝x2－2x的零点个数()．A．3B．2C．1D．0解析由y＝x2与y＝2x的图象知零点个数为3个，故选A.答案A4．函数f(x)＝的零点是________．解析令f(x)＝0，即＝0，即x－1＝0或lnx＝0，∴x＝1，故函数f(x)的零点为1.答案15．已知函数f(x)为奇函数，且该函数有三个零点，则三个零点之和等于________．解析∵奇函数的图象关于原点对称，∴若f(x)有三个零点，则其和必为0.答案06．若函数f(x)＝ax＋b只有一个零点2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是________．解析由题意知，2a＋b＝0，则b＝－2a，∴g(x)＝－2ax2－ax＝－ax(2x＋1)，令g(x)＝0，得x＝0或－.答案－，07．判断函数f(x)＝ex－5零点的个数．解法一f(0)＝－4＜0，f(3)＝e3－5＞0，∴f(0)·f(3)＜0.又∵f(x)＝ex－5在R上是增函数，∴函数f(x)＝ex－5的零点仅有一个．法二令y1＝ex，y2＝5，画出两函数图象(如图)，由图象可知有一个交点，故函数f(x)＝ex－5的零点仅有一个．能力提升8．若函数f(x)在定义域{x|x∈R且x≠0}上是偶函数，且在(0∞，＋)上是减函数，f(2)＝0，则函数f(x)的零点有()．A．一个B．两个C．至少两个D．无法判断解析f(x)在(0∞，＋)上是减函数，f(2)＝0，所以f(x)在(0∞，＋)上有且仅有一个零点2.又f(x)是偶函数，所以f(x)在(∞－，0)上有且仅有一个零点－2.因此函数f(x)有两个零点－2与2.答案B9．设x0是方程lnx＋x＝4的解，且x0∈(k，k＋1)，k∈Z，则k＝________.解析令f(x)＝lnx＋x－4，且f(x)在(0∞，＋)上递增，∵f(2)＝ln2＋2－4＜0，f(3)＝ln3－1＞0.∴f(x)在(2,3)内有解，∴k＝2.答案210．已知函数f(x)＝x2－2x－3，x∈[－1,4]．(1)画出函数y＝f(x)的图象，并写出其值域；(2)当m为何值时，函数g(x)＝f(x)＋m在[－1,4]上有两个零点？解(1)依题意：f(x)＝(x－1)2－4，x∈[－1,4]，其图象如图所示．由图可知，函数f(x)的值域为[－4,5]．(2)∵函数g(x)＝f(x)＋m在[－1,4]上有两个零点．∴方程f(x)＝－m在x∈[－1,4]上有两相异的实数根，即函数y＝f(x)与y＝－m的图象有两个交点．由(1)所作图象可知，－4＜－m≤0，∴0≤m＜4.∴当0≤m＜4时，函数y＝f(x)与y＝－m的图象有两个交点，故当0≤m＜4时，函数g(x)＝f(x)＋m在[－1,4]上有两个零点．
