【创新设计】-版高中数学3.4.1.1二次方程的根与二次函数的零点同步训练苏教版必修11．函数y＝x2－6x＋5图象与x轴交点坐标是________，函数零点是________，方程x2－6x＋5＝0的根为________．解析画出二次函数的图象，观察图象即得．答案(1,0)、(5,0)1或51或52．一元二次方程(a－1)x2＋a＋1＝0有两个相等的实数根，则a的值为________．解析因为是一元二次方程，所以a≠1，又方程有两个相等的根，所以Δ＝4(1－a2)＝0，解得a＝－1或1(舍去)，所以a的值为－1.答案－13．一元二次方程x2＋2x＋1－m＝0有两个不等的实数根，则实数m的取值范围是________．解析由题意可得Δ＝4－4(1－m)＞0，解得m＞0.答案(0，＋∞)4．二次函数f(x)＝x2＋2x＋1－a2(a≠0)的零点情况是________．解析因为Δ＝4－4(1－a2)＝4a2＞0，所以函数有两个零点．答案有两个零点5．若二次函数f(x)＝x2－(a－1)x＋5在区间(，1)上是增函数，则f(2)的取值范围是________．解析由题意可得对称轴x＝≤，解得a≤2，又f(2)＝4－2(a－1)＋5＝11－2a，所以f(2)≥7.答案[7，＋∞)6．右图是一个二次函数y＝f(x)的图象．(1)写出这个二次函数的零点；(2)写出这个二次函数的解析式；(3)试比较f(－4)f(－1)，f(0)f(2)与0的大小关系．解(1)由图象可知此函数的零点是：x1＝－3，x2＝1.(2)由(1)可设f(x)＝a(x＋3)(x－1)，∵f(－1)＝4，∴a＝－1.∴f(x)＝－(x＋3)(x－1)．即这个二次函数的解析式为f(x)＝－x2－2x＋3.(3)∵f(－4)＝－5，f(－1)＝4，f(0)＝3，f(2)＝－5，∴f(－4)f(－1)＝－20＜0，f(0)f(2)＝－15＜0.7．若函数f(x)＝－x2－2ax(0≤x≤1)的最大值是a2，则a的取值范围是________．解析该二次函数的顶点坐标是(－a，a2)，则最大值是a2时，有0≤－a≤1，解得－1≤a≤0.答案[－1,0]8．已知函数f(x)＝x2－6x＋8，x∈[1，a]的最小值为f(a)，则实数a的取值范围是________．解析利用函数f(x)＝x2－6x＋8，x∈[1，a]的图象，知实数a的取值范围是(1,3]．答案(1,3]9．若方程2ax2－x－1＝0在(0,1)内恰有一解，则a的取值范围是________．解析因为x＝0时，函数值为－1＜0，所以在(0,1)内恰有一解，即x＝1时函数值为正，即2a＞2，解得a＞1.答案(1，＋∞)10．关于x的方程x2＋(m＋2)x＋3＝0的两个实根x1，x2满足0＜x1＜1＜x2＜4，则实数m的取值范围是________．解析设f(x)＝x2＋(m＋2)x＋3，作出函数f(x)的图象如图，由函数图象可得，即，解得－＜m＜－6.答案11．已知二次函数y＝f(x)的图象经过点(0，－8)，(1，－5)，(3,7)．(1)求f(x)的解析式；(2)求f(x)的零点；(3)比较f(2)f(4)，f(1)f(3)，f(－5)f(1)，f(3)f(－6)与0的大小关系．解(1)设函数解析式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由解得，∴f(x)＝x2＋2x－8.(2)令f(x)＝0得x＝2或－4，∴零点是x1＝2，x2＝－4.(3)f(2)f(4)＝0，f(－1)f(3)＝－9×7＝－63＜0，f(－5)f(1)＝－35＜0，f(3)f(－6)＝112＞0.12．当关于x的方程的根满足下列条件时，求实数k的取值范围：(1)方程x2－4x＋k＋2＝0的两根都在区间[－1,3]上；(2)方程x2＋kx＋1＝0的一个根在区间(0,1)上，另一根在区间(1,2)上；(3)方程x2＋4x＋2k＝0至少有一个实根小于－1.解(1)设f(x)＝x2－4x＋k＋2，则方程两个根都在[－1,3]上等价于⇒，∴1＜k≤2.(2)设f(x)＝x2＋kx＋1，则方程一个根在(0,1)上，另一根在(1,2)上等价于⇒⇒⇒－＜k＜－2.(3)设f(x)＝x2＋4x＋2k，若方程的两个实根都小于－1，则有，即.∴≤k≤2.若方程的两个根一个大于－1，另一个小于－1，则有f(－1)＝－3＋2k<0，∴k<.综上，满足条件的k的范围是(－∞，2]．13．(创新拓展)若抛物线y＝－x2＋3x－m与直线y＝3－x在(0,3)内只有一个交点，求实数m的取值范围．解解方程组，可得x2－4x＋3＋m＝0，设f(x)＝x2－4x＋3＋m，x∈(0,3)．(1)若方程有两个相等的实数根，由Δ＝0可得，16－4(m＋3)＝0，解得m＝1，此时x＝2，适合题意；(2)若方程在(0,3)内只有一个实数根，且Δ≠0，则或，即或，解得－3＜m＜0；综上，实数m的取值范围是{m|m＝1或－3＜m＜0}．
