【创新设计】-版高中数学3.4.1.2函数的零点同步训练苏教版必修11．函数f(x)＝x3＋x的零点是________．解析函数y＝f(x)的零点即为方程x3＋x＝0的解，即为x＝0.答案02．函数f(x)＝的零点是________．解析函数f(x)＝的零点即为方程＝0的根，即为1或－1.答案1或－13．函数f(x)＝log2(x2－4x＋5)的零点为________．解析所求零点即为方程log2(x2－4x＋5)＝0的解，即为方程x2－4x＋5＝1的解，解得x＝2.答案24．判断函数f(x)＝x2－(2a＋2)x＋2a＋5(其中a＞2)在区间(1,3)内是否有零点，结论是________(“”“”填有或填没有)．解析因为x＝1时，(－1)2－(2a＋2)(－1)＋2a＋5＝4a＋8＞0，x＝3时32－3(2a＋2)＋2a＋5＝8－4a＜0，且函数f(x)的图象在[1,3]内是不间断的，所以函数f(x)在区间(1,3)内存在零点．答案有5．若函数f(x)＝x2＋2x＋a没有零点，则实数a的取值范围是________．解析由题意知，Δ＝4－4a＜0，∴a＞1.答案(1∞，＋)6．已知函数f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1在区间(－1,0)和(1,2)内各有一个零点，求实数m的取值范围．解函数f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1的零点分别在区间(－1,0)和(1,2)上，即函数f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1的图象与x轴的交点一个在(－1,0)上，一个在(1,2)上，根据图象列出不等式组，解得，∴－＜m＜－.∴实数m的取值范围是(－，－)．7．已知函数f(x)为偶函数，其图象与x轴有4个交点，则该函数的所有零点之和等于________．解析偶函数图象关于y轴对称，故函数f(x)与x轴4个交点所形成的零点之和为0.答案08．已知函数f(x)的图象连续不间断，有如下的x，f(x)对应值表：x123456f(x)136.13615.552－3.9210.88－52.488－232.064函数f(x)含有零点的区间为________．解析利用函数y＝f(x)零点存在性的判定定理，结合列表可知，存在零点的区间为(2,3)，(3,4)，(4,5)．答案(2,3)，(3,4)，(4,5)9．若函数f(x)＝ax－x－a(a＞0，且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是________．解析设函数y＝ax(a＞0，且a≠1)和函数y＝x＋a，则函数f(x)＝ax－x－a(a＞0，且a≠1)有两个零点，就是函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与函数y＝x＋a有两个交点，由图象可知当0＜a＜1时两函数只有一个交点，不符合；如图所示，当a＞1时，因为函数y＝ax(a＞1)的图象过点(0,1)，而直线y＝x＋a所过的点一定在点(0,1)的上方，所以一定有两个交点．所以实数a的取值范围是a＞1.答案(1∞，＋)10．设函数f(x)＝，若关于x的方程f2(x)－af(x)＝0恰有三个不同的实数解，则实数a的取值范围是________．解析关于x的方程f2(x)－af(x)＝0的解即为方程f(x)＝0或f(x)＝a的解，而函数y＝f(x)的图象如图所示，由图象可知，方程f(x)＝0只有一解1，而原方程有三解，所以方程f(x)＝a有两个不为1的相异的根，即0＜a≤1，所以所求范围是{a|0＜a≤1}．答案{a|0＜a≤1}11．关于x的方程mx2＋2(m＋3)x＋2m＋14＝0有两实根，且一个大于4，一个小于4，求m的取值范围．解令g(x)＝mx2＋2(m＋3)x＋2m＋14.依题意得或即或解得－2c>2b.求证：(1)a>0且－3<<－；(2)函数f(x)在区间(0,2)内至少有一个零点；(3)设x1，x2是函数f(x)≤的两个零点，则|x1－x2|<.证明(1)∵f(1)＝a＋b＋c＝－，∴3a＋2b＋2c＝0.又3a>2c>2b，∴3a>0,2b<0，∴a>0，b<0.又2c＝－3a－2b，由3a>2c>2b，∴3a>－3a－2b>2b.∵a>0，∴－3<<－.(2)∵f(0)＝c，f(2)＝4a＋2b＋c＝a－c.①当c>0时，∵a>0，∴f(0)＝c>0且f(1)＝－<0，∴函数f(x)在区间(0,1)内至少有一个零点．②当c≤0时，∵a>0，∴f(1)＝－<0且f(2)＝a－c>0，∴函数f(x)在区间(1,2)内至少有一个零点．综合①②得f(x)在(0,2)内至少有一个零点．(3)∵x1，x2是函数f(x)上的两个零点，则x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的两根．∴x1＋x2＝－，x1x2＝＝－－.∴|x1－x2|＝＝＝.∵－3<<－，∴≤|x1－x2|<.
