【创新设计】届高考数学3-1-1方程的跟与函数的零点1．下列图象表示的函数中没有零点的是()．解析观察图象可知A选项中图象对应的函数没有零点．答案A2．若函数f(x)＝x2＋2x＋a没有零点，则实数a的取值范围是()．A．a＜1B．a＞1C．a≤1D．a≥1解析由题意知，Δ＝4－4a＜0，∴a＞1.答案B3．函数f(x)＝的零点个数为()．A．1B．2C．3D．0解析f(x)＝0，即＝0，即x－1＝0或lnx＝0，得x＝1.答案A4．二次函数y＝ax2＋bx＋c中，a·c＜0，则函数零点的个数是________．解析∵a·c＜0，∴Δ＝b2－4ac＞0.∴二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴有两个交点，则函数有2个零点．答案25．函数f(x)＝ex＋x－2的零点所在的一个区间是________(填序号)．①(－2，－1)；②(－1,0)；③(0,1)；④(1,2)解析∵f(x)＝ex＋x－2，∴f(0)＝－1＜0，f(1)＝e－1＞0.∴函数f(x)的零点所在的一个区间是(0,1)．答案③6．判断函数f(x)＝ex－5零点的个数．解法一f(0)＝－4＜0，f(3)＝e3－5＞0，∴f(0)·f(3)＜0.又∵f(x)＝ex－5在R上是增函数，∴函数f(x)＝ex－5的零点仅有一个．法二令y1＝ex，y2＝5，画出两函数图象，由图象可知有一个交点，故函数f(x)＝ex－5的零点仅有一个．7．若函数f(x)在区间(0,2)内有零点，则()．A．f(0)＞0，f(2)＜0B．f(0)·f(2)＜0C．在区间(0,2)内，存在x1，x2使f(x1)·f(x2)＜0D．以上说法都不正确解析函数y＝f(x)在区间(a，b)内存在零点，我们并不一定能找到x1，x2∈(a，b)，满足f(x1)·f(x2)＜0，故A、B、C都是错误的，正确的为D.答案D8．方程2x＋x＝0在下列哪个区间内有实数根()．A．(－2，－1)B．(0,1)C．(1,2)D．(－1,0)解析设函数f(x)＝2x＋x，其对应的函数值如下表：x－2－1012f(x)－－136由于f(－1)·f(0)＜0，所以方程2x＋x＝0在(－1,0)内有实数根，故选D.答案D9．若函数f(x)＝ax＋b只有一个零点2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是________．解析由题意知，2a＋b＝0，∵b＝－2a，∴g(x)＝－2ax2－ax＝－ax(2x＋1)，令g(x)＝0，得x＝0或－.答案0，－.10．已知函数f(x)的图象是不间断的，且有如下的x，f(x)对应值表：x－2－1.5－1－0.500.511.52f(x)－3.151.022.371.56－0.381.232.773.454.89则函数f(x)在区间[－2,2]内的零点个数至少为________．解析由f(－2)·f(－1.5)＜0，f(－0.5)·f(0)＜0，f(0)·f(0.5)＜0.可知函数f(x)在区间[－2,2]内至少有3个零点．答案311．已知函数f(x)＝mx2－3x＋1的零点至少有一个在原点右侧，求实数m的范围．解(1)当m＝0时，f(x)＝－3x＋1，直线与x轴的交点为，即函数的零点为，在原点右侧，符合题意．(2)当m≠0时，∵f(0)＝1，∴抛物线过点(0,1)．若m＜0时，f(x)的开口向下，如图所示．二次函数的两个零点必然是一个在原点右侧，一个在原点左侧．若m＞0，f(x)的开口向上，如图所示，要使函数的零点在原点右侧，当且仅当Δ＝9－4m≥0即可，解得0＜m≤.综上所述，m的取值范围为.12．(创新拓展)已知函数f(x)＝x2－2x－3，x∈[－1,4]．(1)画出函数y＝f(x)的图象，并写出其值域；(2)当m为何值时，函数g(x)＝f(x)＋m在[－1,4]上有两个零点？解(1)依题意：f(x)＝(x－1)2－4，x∈[－1,4]，其图象如图所示．由图可知，函数f(x)的值域为[－4,5]．(2)∵函数g(x)＝f(x)＋m在[－1,4]上有两个零点．∴方程f(x)＝－m在x∈[－1,4]上有两相异的实数根，即函数y＝f(x)与y＝－m的图象有两个交点．由(1)所作图象可知，－4＜－m≤0.∴0≤m＜4.∴当0≤m＜4时，函数y＝f(x)与y＝－m的图象有两个交点，即当0≤m＜4时，函数g(x)＝f(x)＋m在[－1,4]上有两个零点．
