薅100第六章第二节算术平均数与几何平均数袂题组一芀利用均值不等式求最值膈1.设x、y均为正实数，且32＋x＋32＋y＝1，则xy的最小值为()肃A．4B．43蚁C．9D．16莀解析：由32＋x＋32＋y＝1可得xy＝8＋x＋y.蕿 x，y均为正实数，螅∴xy＝8＋x＋y≥8＋2xy(当且仅当x＝y时等号成立)，蚄即xy－2xy－8≥0，蒀可解得xy≥4，即xy≥16，故xy的最小值为16.螆答案：D蒇2．(2009·天津高考)设a>0，b>0.若3是3a与3b的等比中项，则1a＋1b的最小值为()蒃A．8B．4薀C．1D.14膇解析： 3是3a与3b的等比中项，∴(3)2＝3a·3b.袄即3＝3a＋b，∴a＋b＝1.膂此时1a＋1b＝a＋ba＋a＋bb＝2＋(ba＋ab)≥2＋2＝4(当且仅当a＝b＝12取等号)．蚀答案：B薈3．已知不等式(x＋y)(1x＋ay)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为()蚆A．8B．6羀C．4D．2蚀解析：(x＋y)(1x＋ay)＝1＋a·xy＋yx＋a羈≥a＋1＋2a·xy·yx＝a＋2a＋1，肄当且仅当a·xy＝yx等号成立，羃所以(a)2＋2a＋1≥9，螀即(a)2＋2a－8≥0，得a≥2或a≤－4(舍)，肅所以a≥4，即a的最小值为4.螆答案：C螂4．若直线ax－by＋2＝0(a>0，b>0)和函数f(x)＝ax＋1＋1(a>0且a≠1)的图象恒过同一袀个定点，则当1a＋1b取最小值时，函数f(x)的解析式是________．蒆解析：函数f(x)＝ax＋1＋1的图象恒过(－1,2)，故12a＋b＝1，1a＋1b＝(12a＋b)(1a＋1b)＝32芄＋ba＋a2b≥32＋2.当且仅当b＝22a时取等号，将b＝22a代入12a＋b＝1得a＝22－薁2，故f(x)＝(22－2)x＋1＋1.罿答案：f(x)＝(22－2)x＋1＋1袇题组二羆利用均值不等式证明不等式薄5.(2010·佛山模拟)已知a≥0，b≥0，且a＋b＝2，则()聿A．ab≤12B．ab≥12芈C．a2＋b2≥2D．a2＋b2≤3蒄解析：法一：由a＋b2≥ab得ab≤(a＋b2)2＝1，又a2＋b2≥2ab?2(a2＋b2)≥(a＋b)2莃?a2＋b2≥2.腿法二：(特值法)取a＝0，b＝2满足a＋b＝2，代入选项可排除B、D.又取a＝b＝1虿满足a＋b＝2.但ab＝1，可排除A.膆答案：C肂6．设a、b是正实数，以下不等式腿①ab>2aba＋b②a>|a－b|－b③a2＋b2>4ab－3b2④ab＋2ab>2恒成立的序号为袆()薃A．①③B．①④袁C．②③D．②④艿解析： a、b是正实数，∴①a＋b≥2ab?1≥2aba＋b?ab≥2aba＋b.当且仅当a＝b时芇取等号，∴①不恒成立；②a＋b>|a－b|?a>|a－b|－b恒成立；③a2＋b2－4ab＋3b2莅＝(a－2b)2≥0，当a＝2b时，取等号，∴③不恒成立；④ab＋2ab≥2ab·2ab＝22袃>2恒成立．荿答案：D蚇7．已知关于x的不等式2x＋2x－a≥7在x∈(a，＋∞)上恒成立，则实数a的最小值为螃________．蚂解析：因为x>a，所以2x＋2x－a＝2(x－a)＋2x－a＋2a≥22(x－a)·2x－a＋2a＝葿2a＋4，肈即2a＋4≥7，所以a≥32，即a的最小值为32.蒅答案：32蒁8．已知a、b、c∈R＋且a＋b＋c＝1，求证：(1a－1)(1b－1)·(1c－1)≥8.蕿证明： a、b、c∈R＋且a＋b＋c＝1，葿∴(1a－1)(1b－1)(1c－1)＝(1－a)(1－b)(1－c)abc羃＝(b＋c)(a＋c)(a＋b)abc≥2bc·2ac·2ababc＝8.蒄当且仅当a＝b＝c＝13时取等号．蚈题组三薆均值不等式的实际应用蚅9.某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货芃物的运费y2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用螈y1和y2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车羇站________千米处．莇解析：设仓库建在离车站d千米处，肂由已知y1＝2＝k110，得k1＝20，∴y1＝20d，螈y2＝8＝k2·10，得k2＝45，∴y2＝45d，莈∴y1＋y2＝20d＋4d5≥220d·4d5＝8，袅当且仅当20d＝4d5，即d＝5时，费用之和最小．薇答案：5袄10．(文)某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162平方x羈米的三级污水处理池，池的深度一定(平面图如图所示)，如果池四周围墙羆建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底羄建造单价为80元/米2，水池所有墙的厚度忽略不计．薂(1)试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；肈(2)若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水池的长和宽，使总莆造价最低，并求出最低总造价．螆解：(1)设污水处理池的宽为x米，则长为162x米．莁则总造价f(x)＝400×(2x＋2×...
