第十二篇推理证明、算法、复数第1讲合情推理与演绎推理【年高考会这样考】1．考查利用归纳推理、类比推理去寻求更为一般的、新的结论．2．考查演绎推理，主要与立体几何、解析几何、函数与导数等结合．考点梳理1．合情推理(1)归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理．简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．(2)类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．(3)合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．2．演绎推理(1)演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．(2)“”三段论是演绎推理的一般模式，包括：①——大前提已知的一般原理；②——小前提所研究的特殊情况；③——结论根据一般原理，对特殊情况作出的判断．【助学·微博】一个防范合情推理是从已知的结论推测未知的结论，发现与猜想的结论都要经过进一步严格证明．两个要点(1)应用演绎推理证题时，大前提可省略，解题中应注意过程的规范性．(2)当大前提和小前提正确时，得到的结论一定正确．考点自测1．(·烟台质检)“命题有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循”环小数是假命题，推理错误的原因是()．A．使用了归纳推理B．使用了类比推理C“”．使用了三段论，但大前提错误D“”．使用了三段论，但小前提错误解析大前提是特称命题，而小前提是全称命题．答案C2．(·江西)观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝()．A．28B．76C．123D．199解析记an＋bn＝f(n)，则f(3)＝f(1)＋f(2)＝1＋3＝4；f(4)＝f(2)＋f(3)＝3＋4＝7；f(5)＝f(3)＋f(4)＝11.通过观察不难发现f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)(n∈N*，n≥3)，则f(6)＝f(4)＋f(5)＝18；f(7)＝f(5)＋f(6)＝29；f(8)＝f(6)＋f(7)＝47；f(9)＝f(7)＋f(8)＝76；f(10)＝f(8)＋f(9)＝123.所以a10＋b10＝123.答案C3．(·临沂二模)对于大于或等于2的自然数n的二次方幂有如下分解方式：22＝1＋3,32＝1＋3＋5,42＝1＋3＋5＋7…，，根据上述分解规律，对任意自然数n，当n≥2时，有________．解析分解后是以1为首项，2为公差，项数为n的等差数列的和．答案n2＝1＋3…＋＋(2n－1)4．在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为________．解析 两个正三角形是相似的三角形，∴它们的面积之比是相似比的平方．同理，两个正四面体是两个相似几何体，体积之比为相似比的立方，所以它们的体积比为1∶8.答案1∶85．(·陕西)观察下列等式1＝12＋3＋4＝93＋4＋5＋6＋7＝254＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49照此规律，第n个等式应为________．解析由前4个等式可知，第n个等式的左边第一个数为n，且连续2n－1个整数相加，右边为(2n－1)2，故第n个等式为n＋(n＋1)＋(n＋2)…＋＋(3n－2)＝(2n－1)2.答案n＋(n＋1)＋(n＋2)…＋＋(3n－2)＝(2n－1)2考向一归纳推理【例1】►观察下列等式：可以推测：13＋23＋33…＋＋n3＝________(n∈N*，用含有n的代数式表示)．[审题视点]第二列的右端分别是12,32,62,102,152，与第一列比较可得结论．解析第二列等式的右端分别是1×1,3×3,6×6,10×10,15×15， 1,3,6,10,15，…，第n项an与第n－1项an－1(n≥2)的差为：an－an－1＝n，∴a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4…，，an－an－1＝n，等号的左右两端分别相加得，an＝a1＋2＋3…＋＋n，其中a1＝1，∴an＝1＋2＋3…＋＋n，即an＝，∴a＝n2(n＋1)2.答案n2(n＋1)2(1)数的归纳包括数字归纳和式子归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等．(2)形的归纳...
