第三章线性系统的运动分析§3-1线性连续定常齐次方程求解一、齐次方程和状态转移矩阵的定义１、齐次方程状态方程的齐次方程部分反映系统自由运动的状况（即没有输入作用的状况），设系统的状态方程的齐次部分为：)()(tAxtx线性定常连续系统：Axx２、状态转移矩阵的定义齐次状态方程Axx有两种常见解法：（1）幂级数法；（2）拉氏变换法。其解为)0()(xetxAt。其中Ate称为状态转移矩阵（或矩阵指数函数、矩阵指数），记为：Atet)(。若初始条件为)(0tx，则状态转移矩阵记为：)(00)(ttAett对于线性时变系统，状态转移矩阵写为),(0tt，它是时刻t，t0的函数。但它一般不能写成指数形式。（１）幂级数法设Axx的解是t的向量幂级数kktbtbtbbtx2210)(式中，，，，，kbbbb210都是n维向量，则1232132)(kktkbtbtbbtx)(2210kktbtbtbbA故而有：00323021201!1!31312121bAkbbAAbbbAAbbAbbKK且有0)0(bx。故kktbtbtbbtx2210)(kktbAktbAtAbb020200!1!21)0()!1!21(22xtAktAAtIkk定义：022!1!1!21KkkkkAttAktAktAAtIe则)0()(xetxAt。（２）拉氏变换解法将Axx两端取拉氏变换，有)()0()(sAxxssx)0()()(xsxAsI)0()()(1xAsIsx拉氏反变换，有)0(])[()(11xAsILtx则])[()(11AsILetAt【例3.1.1】已知系统的状态方程为xx0010，初始条件为)0(x，试求状态转移矩阵和状态方程的解。解：（１）求状态转移矩阵kkAttAktAAtIet!1!21)(22此题中：0010A，000032nAAA所以1010001001)(ttAtIetAt（２）状态方程的解)0(101)0()(xtxetxAt【例3.1.2】已知系统状态方程为xx3210，初始条件为)0(x，试求状态方程的解。解：)0()(xetxAt321321000ssssAsI2211221221112112213)2)(1(1)(1ssssssssssssAsIttttttttAteeeeeeeeAsILet2222112222])[()(故而)0(2222)0()(2222xeeeeeeeexetxttttttttAt二、状态转移矩阵Ate的性质kkAttAktAAtIet!1!21)(22（1）I)0(（2）AttAt)()()(A)0(（3）)()()()()(122121tttttt证明：)()()()()(1221)()()(212121tttteeetttAtAttA%Example3.1.2:%MATLABsymsstx;A=sym('[0,1;-2,-3]');I=eye(2);L=inv(s*I-A)lap=ilaplace(L)x=lap*x（4）)()(1tt，)()(1tt证明：)()()()()()0(1ttItttt（5）)()()(00txtttx证明：)0()()(xttx)()()0()0()()(00100txtxxttx，代入上式∴)()()()()()(00001txtttxtttx证毕。（6）)()()(011202tttttt证明：)()()(0022txtttx⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(1))()()(0011txtttx⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(2))()()()()()(001121122txtttttxtttx⋯⋯⋯⋯⋯.(3)比较（1）、(3)式，有)()()(011202tttttt成立。证毕。（7）)()(kttk证明：)(][)()(kteeetktAkAtkAtk（8）若BAAB，则AtBtBtAttBAeeeee)(若BAAB，则AtBtBtAttBAeeeee)(（9）设)(t为Axx的状态转移矩阵，引入非奇异变换xPx后的状态转移矩阵为：PePtAt1)(证明：将xPx代入Axx中，有xAPPx1APtPet1)(kkAPtPtAPPktAPPAPtPIe)(!1)(!21122111kktAPPktAPPAPtPPP)(!1)(!21122111PtAktAAtIPkk)!1!21(221PePAt1∴PePtAt1)(。证毕。（10）两种常见的状态转移矩阵①设],,,[21ndiagA，即A为对角阵，且具有互异元素。则ttneet00)(1②设A为mm约当阵mmA11，则ttmtttmttteetmteeetmetteet000)!2(10)!1(1!21)(212【例3.1.3】已知状态转移矩阵为ttttttttAteeeeeeeee22222222试求)(1t和A。解：（1）根据状态转移矩阵的性质4，可知tttttttteeeeeeeett222212222)()(（2）根据状态转移矩阵的性质2，可知32100442222)0(2222teeeeeeeeAtttttttt【例3.1.4】已知4401101A试求状态转移矩阵Ate。解：根据状态转移矩阵的性质10，可知ttttttttttAteteeetteeetetteeet000002106121)(232【例3.1.5】验证如下矩阵是否为状态转移矩阵。ttttsincos0cossin0001解：利用性质（1）I)0(Ittttt0101000010sincos0cossin0001，所以该矩阵不是状态转移矩阵。【例3.1.6】已知系统状态方程为Axx，当11)0(x时，tteetx22)(当12)0(x时，tteetx2)(试求系统矩阵A和状态转移矩阵Ate。解：由性质（2）可知：)0(A由已知，有)0()(xetxAt1121222Attttteeeee∴112121121222122ttttttttAteeeeeeeeetttttttteeeeeeee22222222∴3120424222)(022220tttttttttteeeeeeeetA§3-2线性连续定常非齐...
