小题专项集训(八)平面向量(时间：40分钟满分：75分)一、选择题(每小题5分，共50分)1．(·西宁模拟)对于向量a，b，c和实数λ，下列命题中的真命题是()．A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－bD．若a·b＝a·c，则b＝c解析当向量a，b的夹角为直角时，满足a·b＝0，但不一定有a＝0或b＝0，故A不正确；当a2＝b2时，有(a＋b)·(a－b)＝0，但不一定a＝b或a＝－b，故C不正确；D中向量的数量积不能同时约去一个向量．综上，B正确．答案B2．(·伽师二中二模)已知向量a＝(1,1)，b＝(2，x)．若a＋b与a－b平行，则实数x的值是()．A．－2B．0C．1D．2解析由a＝(1,1)，b＝(2，x)，知a＋b＝(3,1＋x)；a－b＝(－1,1－x)；若a＋b与a－b平行，则3(1－x)＋(1＋x)＝0，即x＝2，故选D.答案D3.(·武汉期末)如图所示，已知AB＝2BC，OA＝a，OB＝b，OC＝c，则下列等式中成立的是()．A．c＝b－aB．c＝2b－aC．c＝2a－bD．c＝a－b解析由AB＝2BC，得AO＋OB＝2(BO＋OC)，即2OC＝－OA＋3OB，即c＝b－a.答案A4．若向量a与b不共线，且a·b≠0，且c＝a－b，则向量a与c的夹角为()．A．0B.C.D.解析因为c＝a－b，则有a·c＝a·＝|a|2－a·b＝0.故两向量垂直，其夹角为.答案D5．(·开封二模)在△ABC中，已知D是AB边上一点，若AD＝2DB，CD＝CA＋λCB，则λ＝()．A．－B．－C.D.解析如图所示，其中D，E分别是AB和AC的三等分点，以EC和ED为邻边作平行四边形，得CD＝CE＋CF＝CA＋CB，∴CF＝CB.故λ＝，所以选D.答案D6．(·济南模拟)已知向量a＝(1，－1)，b＝(1,2)，向量c满足(c＋b)⊥a，(c－a)∥b，则c＝()．A．(2,1)B．(1,0)C.D．(0，－1)解析设c＝(x，y)，则c＋b＝(x＋1，y＋2)，c－a＝(x－1，y＋1)，∴解得x＝2，y＝1.∴c＝(2,1)．答案A7．(·长沙质检)设A，B，C是圆x2＋y2＝1上不同的三个点，O为圆心，且OA·OB＝0，存在实数λ，μ使得OC＝λOA＋μOB，实数λ，μ的关系为()．A．λ2＋μ2＝1B.＋＝1C．λ·μ＝1D．λ＋μ＝1解析由OC＝λOA＋μOB，得|OC|2＝(λOA＋μOB)2＝λ2|OA|2＋μ2|OB|2＋2λμOA·OB.因为OA·OB＝0，所以λ2＋μ2＝1.所以选A.答案A8．设向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，其中0<α<β<π，若|2a＋b|＝|a－2b|，则β－α＝()．A.B．－C.D．－解析由|2a＋b|＝|a－2b|两边平方整理，得3|a|2－3|b|2＋8a·b＝0.∵|a|＝|b|＝1，故a·b＝0，∴cosαcosβ＋sinαsinβ＝0，即cos(α－β)＝0，∵0<α<β<π，故－π<α－β<0，∴α－β＝－，即β－α＝.答案A9．(·辽宁)若a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，则|a＋b－c|的最大值为()．A.－1B．1C.D．2解析由已知条件，向量a，b，c都是单位向量可以求出，a2＝1，b2＝1，c2＝1，由a·b＝0，及(a－c)·(b－c)≤0，可以知道，(a＋b)·c≥c2＝1，因为|a＋b－c|2＝a2＋b2＋c2＋2a·b－2a·c－2b·c，所以有|a＋b－c|2＝3－2(a·c＋b·c)≤1，则|a＋b－c|≤1.故选B.答案B10．(·北京东城区期末)已知△ABD是等边三角形，且AB＋AD＝AC，|CD|＝，那么四边形ABCD的面积为()．A.B.C．3D.解析如图所示，CD＝AD－AC＝AD－AB，∴CD2＝2，即3＝AD2＋AB2－AD·AB，∵|AD|＝|AB|，∴|AD|2－|AD||AB|cos60°＝3，∴|AD|＝2.又BC＝AC－AB＝AD，∴|BC|＝|AD|＝1，∴|BC|2＋|CD|2＝|BD|2，∴BC⊥CD.∴S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BCD＝×22×sin60°＋×1×＝，故选B.答案B二、填空题(每小题5分，共25分)11．已知向量a，b是两个不共线的向量，且向量ma－3b与a＋(2－m)b共线，则实数m的值为________．解析由题意知ma－3b＝λ[a＋(2－m)b]，∴解得m＝－1或m＝3.答案－1或312．(·江西红色六校联考)已知向量a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝ka＋b，d＝a－2b.如果c∥d，则k＝________.解析由题意可得c＝k(1,0)＋(0,1)＝(k,1)，d＝(1,0)－2(0,1)＝(1，－2)，如果c∥d，那么－2k－1＝0，即k＝－.答案－13．(·安徽)设向量a＝(1,2m)，b＝(m＋1,1)，c＝(2，m)．若(a＋c)⊥b，则|a|＝________.解析∵a＋c＝(3,3m)，∴(a＋c)·b＝3(m＋1)＋3m＝0⇔m＝－⇒|a|＝.答案14．已知向量n＝(1，sin2x)，g(x)＝n2.则函数g(x)的最小正周期是________．解析g(x)＝n2＝1＋sin22x＝1＋＝－cos4x＋，∴函数g(x)的最小正周期T＝＝.答案15．(·烟台调研)已知P是边长为2的正三角形ABC的边BC上的动点，则AP·(AB＋AC)＝________.解析如图，作平行四边形ABDC，则AB＋AC＝AD＝2AO，又△ABC为等边三角形，∴四边形ABDC为菱形，BC⊥AO，∴AP在向量AD上的投影为AO，又|AO|＝，∴AP·(AB＋AC)＝|AO|·|AD|＝6.答案6
