小题专项集训(十三)立体几何（二）(时间：40分钟满分：75分)一、选择题(每小题5分，共50分)1．已知点M在平面ABC内，并且对空间任一点O，OM＝xOA＋OB＋OC，则x的值为()．A.B.C.D．0解析由四点共面的充要条件，知x＋＋＝1，因此x＝.答案A2.(·辽宁)如图，四棱锥S－ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是()．A．AC⊥SBB．AB∥平面SCDC．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角解析易证AC⊥平面SBD，因而AC⊥SB，A正确；AB∥DC，DC⊂平面SCD，故AB∥平面SCD，B正确；由于SA，SC与平面SBD的相对位置一样，因而所成的角相同．答案D3．点M在z轴上，它与经过坐标原点且方向向量为s＝(1，－1,1)的直线l的距离为，则点M的坐标是()．A．(0,0，±2)B．(0,0，±3)C．(0,0，±)D．(0,0，±1)解析设M为(0,0，z)，直线l的一个单位方向向量为s0＝，故点M到直线l的距离d＝＝＝，解得z＝±3.答案B4．在如图所示的正方体A1B1C1D1ABCD中，E是C1D1的中点，则异面直线DE与AC夹角的余弦值为()．A．－B．－C.D.解析如图建立直角坐标系D－xyz，设DA＝1，A(1,0,0)，C(0,1,0)，E.则AC＝(－1,1,0)，DE＝，若异面直线DE与AC所成的角为θ，cosθ＝|cos〈AC，DE〉|＝.答案D5．(·全国)已知二面角α－l－β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，B∈β，BD⊥l，D为垂足．若AB＝2，AC＝BD＝1，则D到平面ABC的距离等于()．A.B.C.D．1解析 AB＝AC＋CD＋DB，∴|AB|2＝|AC|2＋|CD|2＋|DB|2，∴|CD|2＝2.在Rt△BDC中，BC＝. 面ABC⊥面BCD，过D作DH⊥BC于H，则DH⊥面ABC，∴DH的长即为D到平面ABC的距离，∴DH＝＝＝.故选C.答案C6．如图所示，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝AB＝AC，AB⊥AC，M是CC1的中点，Q是BC的中点，P是A1B1的中点，则直线PQ与AM所成的角为()．A.B.C.D.解析以A为坐标原点，AB、AC、AA1所在直线为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设AA1＝AB＝AC＝2，则AM＝(0,2,1)，Q(1,1,0)，P(1,0,2)，QP＝(0，－1,2)，所以QP·AM＝0，所以QP与AM所成角为.答案D7．如图，在四棱锥PABCD中，侧面PAD为正三角形，底面ABCD为正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，M为底面ABCD内的一个动点，且满足MP＝MC，则点M在正方形ABCD内的轨迹为()．解析以D为原点，DA、DC所在直线分别为x、y轴建系如图：设M(x，y,0)，设正方形边长为a，则P，C(0，a,0)，则|MC|＝，|MP|＝.由|MP|＝|MC|得x＝2y，所以点M在正方形ABCD内的轨迹为直线y＝x的一部分．答案A8．如图所示，在四面体P－ABC中，PC⊥面ABC，AB＝BC＝CA＝PC，那么二面角B－AP－C的余弦值为()．A.B.C．－D.解析如图所示，作BD⊥AP于D，作CE⊥AP于E.设AB＝1，则易得CE＝，EP＝，PA＝PB＝，可以求得BD＝，ED＝.因为BC＝BD＋DE＋EC，所以BC2＝BD2＋DE2＋EC2＋2BD·DE＋2DE·EC＋2EC·BD，所以EC·BD＝－，所以cos〈BD，EC〉＝－.故选C.答案C9．(·南通一模)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别在A1D、AC上，且A1E＝A1D，AF＝AC，则()．A．EF至多与A1D、AC之一垂直B．EF与A1D、AC都垂直C．EF与BD1相交D．EF与BD1异面解析设AB＝1，以D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴建立空间直角坐标系，则A1(1,0,1)，D(0,0,0)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，E，F，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，A1D＝(－1,0，－1)，AC＝(－1,1,0)，EF＝，BD1＝(－1，－1,1)，EF＝－BD1，A1D·EF＝AC·EF＝0，从而EF∥BD1，EF⊥A1D，EF⊥AC，故选B.答案B10．P是二面角α－AB－β棱上的一点，分别在α，β平面上引射线PM，PN，如果∠BPM＝∠BPN＝45°，∠MPN＝60°，那么二面角α－AB－β的大小为()．A．60°B．70°C．80°D．90°解析不妨设PM＝a，PN＝b，如图所示，作ME⊥AB于E，NF⊥AB于F，因为∠BPM＝∠BPN＝45°，所以PE＝a，PF＝b，所以EM·FN＝(PM－PE)·(PN－PF)＝PM·PN－PM·PF－PE·PN＋PE·PF＝abcos60°－a×bcos45°－abcos45°＋a×b＝－－＋＝0，所以EM⊥FN，所以二面角α－AB－β的大小为90°.答案D二、填空题(每小题5分，共25分)11．若向量a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，满足条件(c－a)·(2b)＝－2，则x＝________.解...
