小题专项集训(十五)圆锥曲线(时间：40分钟满分：75分)一、选择题(每小题5分，共50分)1．设椭圆＋＝1(m>n>0)的右焦点与抛物线y2＝8x的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为()．A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1解析依题意知：＝，得m＝4.由n2＝m2－22＝12，所以所求椭圆方程是＋＝1.答案B2．已知中心在原点的双曲线的顶点与焦点分别是椭圆＋＝1(a>b>0)的焦点与顶点，若双曲线的离心率为2，则椭圆离心率为()．A.B.C.D.解析依题意知双曲线的顶点(c,0)，(－c,0)，焦点为(a,0)，(－a,0)，则＝2，故椭圆的离心率e＝＝.答案B3．如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是()．A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆解析由条件知|PM|＝|PF|.∴|PO|＋|PF|＝|PO|＋|PM|＝|OM|＝R>|OF|.∴P点的轨迹是以O、F为焦点的椭圆．答案A4．P为椭圆＋＝1上一点，F1，F2为该椭圆的两个焦点，若∠F1PF2＝60°，则PF1·PF2＝()．A．3B.C．2D．2解析 S△PF1F2＝b2tan＝3×tan30°＝＝|PF1|·|PF2|·sin60°，∴|PF1|·|PF2|＝4，∴PF1·PF2＝4×＝2.答案D5．已知中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的离心率为，其焦点到渐近线的距离为1，则此双曲线的方程为()．A.－＝1B.－＝1C.－y2＝1D．x2－y2＝1解析根据题目条件中双曲线的离心率为，可以排除选项B和D，选项A中，一个焦点为(，0)，其渐近线方程为x±y＝0，那么焦点到渐近线的距离为d≠＝＝1，也可以排除，故选择正确答案C.答案C6．已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为()．A．x＝1B．x＝－1C．x＝2D．x＝－2解析令A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为抛物线的焦点F，所以过焦点且斜率为1的直线方程为y＝x－，即x＝y＋，将其代入y2＝2px＝2p＝2py＋p2，所以y2－2py－p2＝0，所以＝p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x，准线方程为x＝－1，故选B.答案B7．△ABC的顶点A(－5,0)、B(5,0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程是()．A.－＝1B.－＝1C.－＝1(x>3)D.－＝1(x>4)解析如图|AD|＝|AE|＝8，|BF|＝|BE|＝2，|CD|＝|CF|，所以|CA|－|CB|＝8－2＝6.根据双曲线定义，所求轨迹是以A、B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为－＝1(x>3)．答案C8．在焦点分别为F1，F2的双曲线上有一点P，若∠F1PF2＝，|PF2|＝2|PF1|，则该双曲线的离心率等于()．A．2B.C．3D.解析在△F1PF2中，由余弦定理可得cos＝＝，解得|PF1|＝c，则|PF2|＝c，由双曲线的定义可得|PF2|－|PF1|＝c－c＝2a，即＝，故选D.答案D9．已知抛物线y2＝8x的准线与双曲线－y2＝1(m>0)交于A，B两点，点F为抛物线的焦点，若△FAB为直角三角形，则双曲线的离心率是()．A.B.C．2D．2解析抛物线的准线方程为x＝－2，设准线与x轴的交点为D(－2,0)，由题意得∠AFB＝90°，故|AB|＝2|DF|＝8，故点A的坐标为(－2,4)．由点A在双曲线－y2＝1上可得－42＝1，解得m＝.故c2＝m＋1＝，故双曲线的离心率e＝＝＝.答案B10．设P为圆x2＋y2＝1上的动点，过P作x轴的垂线，垂足为Q，若PM＝λMQ(其中λ为正常数)，则点M的轨迹为()．A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线解析设M(x，y)，P(x0，y0)，则Q(x0,0)，由PM＝λMQ，得(λ＞0)，∴由于x＋y＝1，∴x2＋(λ＋1)2y2＝1，∴M的轨迹为椭圆．答案B二、填空题(每小题5分，共25分)11．若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点与椭圆＋＝1的右焦点重合，则p的值为________．解析抛物线的焦点为，椭圆中，a＝，b＝，所以c＝2，即右焦点为(2,0)．所以＝2，即p＝4.答案412．在平面直角坐标系xOy中，若定点A(1,2)与动点P(x，y)满足OP·OA＝4，则点P的轨迹方程是______________________________________________．解析由OP·OA＝4，得(x，y)·(1,2)＝4，即x＋2y＝4.答案x＋2y－4＝013．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为________．解析由定义，知|PF1|－|PF2|＝2a.又|PF1|＝4|PF2|，∴|PF1|＝a，|PF2|＝a.在△PF1F2中，由余...
