高考数学一轮复习 13.3 直接证明与间接证明 理 苏教版VIP免费

13.3直接证明与间接证明一、填空题1．用反证法证明命题：“已知a，b∈N，若ab可被5整除，则a，b中至少有一个能被5整除”时，反设是________．解析由反证法的定义得，反设即否定结论．答案a，b都不能被5整除2.用反证法证明:若整系数一元二次方程c=有有理数根,那么a、b、c中至少有一个偶数时,下列假设正确的是()①假设a、b、c都是偶数②假设a、b、c都不是偶数③假设a、b、c至多有一个偶数④假设a、b、c至多有两个偶数解析“至少有一个”的否定是“都不是”.答案②3．下列各式中对x∈R都成立的序号是________．①lg(x2＋1)≥lg(2x)②x2＋1＞2x③≤1④x＋≥2解析①④中x必须大于0，故①④排除，②中应x2＋1≥2x，故②不正确．答案③4．命题“如果数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n，那么数列{an}一定是等差数列”是________命题(填“真”、“假”)解析 Sn＝2n2－3n，∴Sn－1＝2(n－1)2－3(n－1)(n≥2)，∴an＝Sn－Sn－1＝4n－5(n＝1时，a1＝S1＝－1符合上式)．又 an＋1－an＝4(n≥1)，∴{an}是等差数列．答案真5．已知函数f(x)＝x，a，b是正实数，A＝f，B＝f()，C＝f，则A、B、C的大小关系为________．解析 ≥≥，又f(x)＝x在R上是减函数．∴f≤f()≤f.答案A≤B≤C6．下列条件：①ab＞0，②ab＜0，③a＞0，b＞0，④a＜0，b＜0，其中能使＋≥2成立的条件的个数是________．解析要使＋≥2，只要＞0且＞0，即a，b不为0且同号即可，故有3个．答案37．设a、b、c均为正实数，则三个数a＋、b＋、c＋，则下列关于a，b，c三个数的结论，正确的序号是________．①都大于2②都小于2③至少有一个不大于2④至少有一个不小于2解析 a＞0，b＞0，c＞0，∴＋＋＝＋＋≥6，当且仅当a＝b＝c时，“＝”成立，故三者不能都小于2，即至少有一个不小于2.答案④8．要证明“＋＜2”可选择的方法有以下几种，其中最合理的是________(填序号)．①反证法，②分析法，③综合法．答案②9.已知且则使得a+恒成立的的取值范围是.解析 且∴a+b=∴a+b的最小值为16.∴要使恒成立,只需∴0<16.答案10．已知a、b、c是互不相等的非零实数．若用反证法证明三个方程ax2＋2bx＋c＝0，bx2＋2cx＋a＝0，cx2＋2ax＋b＝0至少有一个方程有两个相异实根．应假设__________________．解析用反证法证明命题时，假设结论不成立，即否定命题．答案三个方程都没有两个相异实根11．设x，y，z是空间的不同直线或不同平面，且直线不在平面内，下列条件中能保证“若x⊥z，且y⊥z，则x∥y”为真命题的是________．(填写所有正确条件的代号)①x为直线，y，z为平面；②x，y，z为平面；③x，y为直线，z为平面；④x，y为平面，z为直线；⑤x，y，z为直线．解析①中x⊥平面z，平面y⊥平面z，∴x∥平面y或x⊂平面y.又 x⊄平面y，∴x∥y成立．②中若x，y，z均为平面，则x可与y相交，故②不成立．③x⊥z，y⊥z，x，y为不同直线，故x∥y成立．④z⊥x，z⊥y，z为直线，x，y为平面可得x∥y，④成立．⑤x，y，z均为直线x，y可平行、异面、相交，故⑤不成立．答案①③④12．如果a＋b＞a＋b，则a、b应满足的条件是________．解析首先a≥0，b≥0且a与b不同为0.要使a＋b＞a＋b，只需(a＋b)2＞(a＋b)2，即a3＋b3＞a2b＋ab2，只需(a＋b)(a2－ab＋b2)＞ab(a＋b)，只需a2－ab＋b2＞ab，即(a－b)2＞0，只需a≠b.故a，b应满足a≥0，b≥0且a≠b.答案a≥0，b≥0且a≠b13．已知函数f(x)满足f(p＋q)＝f(p)f(q)，f(1)＝3，则＋＋＋＝________.解析由f(p＋q)＝f(p)f(q)，令p＝q＝n，得f2(n)＝f(2n)，原式＝＋＋＋＝2f(1)＋＋＋＝8f(1)＝24.答案24二、解答题14．已知a，b，c是互不相等的实数．求证：由y＝ax2＋2bx＋c，y＝bx2＋2cx＋a和y＝cx2＋2ax＋b确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点．证明假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x轴有两个不同的交点(即任何一条抛物线与x轴没有两个不同的交点)，由y＝ax2＋2bx＋c，y＝bx2＋2cx＋a，y＝cx2＋2ax＋b，得Δ1＝(2b)2－4ac≤0，Δ2＝(2c)2－4ab≤0，Δ3＝(2a)2－4ac≤0，上述三个同向不等式相加得，4b2＋4c2＋4a2－4ac－4ab－4bc≤0，∴2a2＋2b2＋2c2－2ab－2bc－2ca≤0，∴(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≤0，∴a＝b...