1/9解直角三角形在实际生活中的应用山东李浩明在现实生活中,有许多和解直角三角形有关的实际问题，如航海航空、建桥修路、测量技术、图案设计等，解决这类问题其关键是把具体问题抽象成“直角三角形”模型，利用直角三角形的边角关系以及勾股定理来解决.下面举例说明，供大家参考．一、航空问题例1．（2008年桂林市）汶川地震后，抢险队派一架直升飞机去A、B两个村庄抢险，飞机在距地面450米上空的P点，测得A村的俯角为30，B村的俯角为60（如图1）．求A、B两个村庄间的距离．（结果精确到米，参考数据21.41431.732，）分析:要求A、B两个村庄间的距离,由题意知AB=PB，在Rt△PBC中,可求得60PBC，又因为PC=450，所以可通过解直角三角形求得PB.解：根据题意得：30A，60PBC，所以6030APB，所以APBA，所以AB=PB.在RtBCP中，90,60CPBC，PC=450，所以PB=4509003003sin603.所以3003520ABPB(米)答：A、B两个村庄间的距离为520米．二、测量问题例2.（2008年湛江市）如图2所示，课外活动中，小明在离旗杆AB10米的C处，QBCPA4506030图12/9用测角仪测得旗杆顶部A的仰角为40，已知测角仪器的高CD=1.5米，求旗杆AB的高(精确到0.1米)．分析:要求AB的高,由题意知可知CD=BE,先在Rt△ADE中求出AE的长,再利用AB=BE+AE求出AB的长.解：在Rt△ADE中，tanADE=DEAE. DE=10，ADE=40.∴AE=DEtanADE=10tan40≈100.84=8.4.∴AB=AE+EB=AE+DC=8.41.59.9.答：旗杆AB的高为9.9米．三、建桥问题例4.（2008年河南）如图所示，A、B两地之间有一条河，原来从A地到B地需要经过DC，沿折线A→D→C→B到达，现在新建了桥EF，可直接沿直线AB从A地到达B地．一直BC=11km，∠A=45°，∠B=37°．桥DC和AB平行，则现在从A地到达B地可比原来少走多少路程？（结果精确到0.1km．参考数据：1.412，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80）.分析:要求现在比原来少走多少路程，就需要计算两条路线路程之差，如图构造平行四边形DCBG，将两条路线路程之差转化为ADDGAG，作高线DH,将△ADG转化为两个直角三角形，先在在RtDGH△中求DH、GH，再在RtADH△中求AD、AH,此题即可得解.解：如图，过点D作DHAB于H，DGCB∥交AB于G．DCAB∥，四边形DCBG为平行四边形．图240EDCBA3/9FEDCBA45°37°HG图3∴DCGB，11GDBC．∴两条路线路程之差为ADDGAG．在RtDGH△中，sin37110.606.60DHDG，cos37110.808.80GHDG≈≈．在RtADH△中，21.416.609.31ADDH≈≈．6.60AHDH≈．∴(9.3111)(6.608.80)4.9(km)ADDGAG≈．即现在从A地到B地可比原来少走约4.9km．四、图案设计问题例4.（2008年上海市）“创意设计”公司员工小王不慎将墨水泼在一张设计图纸上，导致其中部分图形和数据看不清楚（如图4所示）．已知图纸上的图形是某建筑物横断面的示意图，它是以圆O的半径OC所在的直线为对称轴的轴对称图形，A是OD与圆O的交点．由于图纸中圆O的半径r的值已看不清楚，根据上述信息（图纸中1:0.75i是坡面CE的坡度），求r的值．分析:要求圆O的半径r的值，需在直角三角形ODH中来解决,而已知的条件太少，需要先在直角三角形CEH中，根据条件5CE、坡面CE的坡度1:0.75i求出EH、CH，然后在直角三角形ODH中利用勾股定理列出方程，从而求出r的值．解：由已知OCDE，垂足为点H，则90CHE．图44/91:0.75i，43CHEH．在RtHEC△中，222EHCHEC．设4CHk，3(0)EHkk，又5CE，得222(3)(4)5kk，解得1k．∴3EH，4CH．∴7DHDEEH，7ODOAADr，4OHOCCHr．在RtODH△中，222OHDHOD，∴222(4)7(7)rr．解得83r．航海中的安全问题船只在海上航行，特别要注意安全问题，这就需要运用数学知识进行有关的计算，以确保船只航行的安全性.请看下面两例.例1（深圳市）如图1，某货船以24海里／时的速度将一批重要物资从A处运往正东方向的M处，在点A处测得某岛C在北偏东60的方向上．该货船航行30分钟后到达B处，此时再测得该岛在北偏东30的方向上，已知在C岛周围9海里的区域内有暗礁．若继续向正东方向航行，该货船有无触礁危险？试说明理由．分析：问题的关键是弄清方位角的概念，过点C作CD⊥AB于D，然后通过解直角三角形求出CD的长，通过列方程解决几何问题也是一种常用方法.解：由已知，得AB=24×21=12，∠CAB=90°-60°=30°，...
