第二章导数与微分典型例题分析客观题(A)limhffa+:丿-f(a)存在h丿(B)limf(a+2h)「f(a+h)存在hT0例1设/(x)在点x0可导，a,b为常数，则limAxTOf(xo+aAx)-f(xo+bAx)(AxAabf'(xo)B(a+b)f'(x°)答案CC(a-b)f，(xo)limf(xo+如一f(xo+丽=AXTOAx[f(x+aAx)—f(x)]-[f(x+bAx)—f(x)]二lim一AxTOAxf(x+aAx)-f(x)f(x+bAx)-f(x)=alimoo-blimAxT0aAxAxT0=(a-b)f'(xo)bAx例2(89303)设f(x)在x二a的某个邻域内有定义，则f(x)在x二a处可导的一个充分条件是()(C)limhT0f(a+h)-f(a-h)存在2h(D)limf(a)-f(a-h)存在hT0答案D解题思路(1)对于答案(A)，不妨设;=心，当hT+X时，AxT0+，则有h-f(a)二limf(a+山)-f(a)存在，这只表明f(x)在x二a处hT+xAxTO+Ax右导数存在，它并不是可导的充分条件，故(A)不对.⑵对于答案(B)与(C),因所给极限式子中不含点a处的函数值f(a)，因此与导数概念1,f(x)」0,(A)lim丄f(1-cosh)存在hT0h2(C)lim丄f(h-sinh)存在hT0h2(B)limf(1-eh)存在hT0h(D)lim!f(2h)-f(h)］存在hT0h(1)当hT0时,1-coshh21T2-所以如果f'(0)存在,则必有不相符和.例如，若取则(B)与(C)两个极限均存在，其值为零，但lim/(x)二0丰/(Q)二1，从而f(x)在x二a处不连续，因而不可导，这就说明(B)与(C)成立并不能保证f'(a)存在，从而(B)与(C)也不对.⑶记Ax=_h，则AxT0与hT0是等价的，于是limf(a)-f(a-h)=_limf(a-h)-f(a)二lim/(a-h)-/(a)hT0hhT0hhT0二limf(a+山)—f(a)二广(a)AxTCAx所以条件D是f'(a)存在的一个充分必要条件.例3(00103)设f(0)=0,则f(x)在点x二0可导的充要条件为()答案B解题思路limf(1-说)=limf(1-gsh)-f(0)=limf(1-cosh)-f(0).血1-coshhT0h2hT0h2hT01-coshhT0h2若记u二1—cosh，当hT0时，uT0+，所以limf(1―cosh)-f(0)二limf(U)-f(0)二f'(0)hT01—coshhT0u于是limf(1-cosh)=1f，(0)hT0h22这就是说由f(0)存在能推出limf(1-cosh)存在.hT0h2但是由于当hT0时，恒有U=1-coshT0+,而不是UT0,因此—h+o(h)hlim71-f(1―cosh)存在只能推出广(0)=limf(X)f(0)存在，而不能推出f'(0)hT0h2+XT0+存在.⑵当hT0时，1—eh=-h+o(h)，于是limf(1-eh)二limf(-h+o(h))-f(0)二一limf(-h+o(h))-f(0)—T0hhTChhT0一h+o(h)由于当hT0时，―h+o(h)既能取正值，又能取负值，所以极限limf(一T优f(0)存在与limf(h)—f(0)=f(0)存在是互相等价的•因而hT0一h+o(h)hT01极限limf(1—eh)存在与广(0)存在互相等价.hT0hh一sinh1⑶当hT0时，用洛比塔法则可以证明lim=三，所以hToh36rf(h-sinh)f(h-sinh)-f(0)h-sinhr
