四年级奥数 整除与余数VIP专享VIP免费

四年级奥数整除与余数【导言】我们学习的除法算式有两种情况，一种是被除数除以除数以后,余数为,即数的整除性；另一种是被除数除以除数以后,余数不为，即有余数的除法。一个有余数的除法包括四个数：被除数m除数商……余数。这个关系也可以表示为被除数除数X商余数。下面来总结一下整除和有余数除法的特征：整除：能被整除的特征：如果一个数的个位数字是偶数，那么这个数能被整除。能被整除的特征：如果一个数的各位数字之和能被整除，那么这个数能被整除。能被（或）整除的特征：如果一个数的末两位数能被（或）整除，那么这个数能被（或）整除。能被整除的特征：如果一个数的个位数字是或，那么这个数能被整除。能被（或整除的特征如果一个数的末三位数能被（或）整除，那么这个数能被（或）整除。能被整除的特征：如果一个数的各位数字之和能被整除，那么这个数能被整除。能被整除的特征：如果一个数奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被整除，那么这个数能被整除。有余数的除法：一个数除以的余数，与它的末两位除以的余数相同。一个数除以的余数，与它的末三位除以的余数相同。一个数除以的余数，与它的各位数字之和除以的余数相同。一个数除以的余数，与它的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差除以的余数相同。（如果奇位上的数字之和小于偶数位上的数字之和，可用偶数位数字之和减去奇数位数字之和，再除以，所得的余数与的差即为所求）。【经典例题】已知一个位数能被和整除，求这个位数。【解题步骤】能被整除的数的末位是或，能被整除的末位是各位上的数字之和能被整除，即能被整除。当时，取；当时，取。所以这个位数是或【巩固练习】已知一个五位数是能被整除，求这个五位数。【答案】由于X,且和是互质的,所以能被整除的数也就是说即能被整除又能被整除。当能被整除时，则有能被整除，可以取和；因为这个位数的末两位是，能被整除，所以该数可以被整除。所以这个位数是或。如果一个位数能同时被、、整除，求这个位数。【答案】或或有一个四位整数如果要让这个四位数同时能被、、、整除，那么这个四位数的末两位上应是什么数？【答案】或【经典例题】要使六位数能被整除，而且所得的商最小，这个六位数是多少？【发散思维】由于能被整除，X，且和互质，所以这个位数既能被整除又能被整除。再考虑“所得的商最小”这个条件，应首先是尽量小，其次是尽量小，最后是尽量小。【解题步骤】能被整除，则能被整除，因此可能取、、、、。能被整除，则能被整除。要使所得的商最小，就要使尽可能小，即尽可能小,因此首先尽可能小,其次最后尽可能小。先试取，此六位数之和为欲使尽可能小，而且能被整除，则（）取因为,且只能取、、、、。贝U当时,此六位数能被整除，而且所得的商最小，【巩固练习】在后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能被、、整除，且使这个数值尽可能得小。答案：这个六位数是。一个三位数减去它的各位数字之和其差还是一个三位数求是几答案：设这个三位数为根据题意有X这就说明一定是的倍数，所以取。用、、、、这五个数中的四个数字，可以组成许多能被整除的四位数，其中最小的一个四位数是多少？答案：能组成个，最小的是。【经典例题】有一个自然数，用它去除、和这三个数得到的三个余数之和是，求这个自然数。【发散思维】如果设这个数为则根据带余除式可以得到下面三个等式：将这三个等式相加就可以利用余数之和为这个条件了。【解题步骤】将上面三个等式相加可以得到化简得其中的字母是上面三个商的和，它是一个整数。上面这个等式还可以写成即从这个等式发现是的因数列出的所有因数为、、、、，这个因数中哪个可以成为的取值？逐一试验可以发现【巩固练习】有一个自然数，分别去除、、、所得的余数都不为,且这三个余数之和是，求这个自然数。答案：如果把、、三个数之和减去三个余数之和，剩下的数必然是所求数的整数倍。,X,即是的倍。若所求之数为，那么：XX，而！，。若所求之数为，那么：X。所以这个自然数为有一个自然数去除、、都有余数，且余数之和为，求这个自然数。答案：这个自然数是。用一个整数去除和，所得的余数...