《数学思想方法和常用的解题技巧》巩固训练一、填空题1．若a>b>1，P＝，Q＝(lga＋lgb)，R＝lg，则P、Q、R的大小关系是________．解析取a＝100，b＝10，此时P＝，Q＝＝lg，R＝lg55＝lg，比较可知P0时，可作出y＝lnx，y＝x2－2x的图象如图所示．由图示可得函数f(x)＝lnx－x2＋2x(x>0)有两个零点．当x<0时，f(x)＝2x＋1有零点x＝－.综上，可得f(x)有3个零点．答案34．设01，故不能得到xsinx<1，所以“xsin2x<1”是“xsinx<1”的必要而不充分条件．答案必要不充分5．在平面直角坐标系中，若不等式组(a为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a的值为________．解析如图阴影部分即为满足x－1≤0与x＋y－1≥0的可行域．而直线ax－y＋1＝0恒过点(0,1)，故看作该直线绕点(0,1)旋转，当a＝－5时，则可行域不是一个封闭区域；当a＝1时，封闭区域的面积是1；当a＝2时，封闭区域的面积是；当a＝3时，封闭区域的面积恰好为2.答案36．已知a，b为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a，b在α上的射影有可能是：①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点．在上面的结论中，正确结论的序号是________(写出所有正确的序号)．解析构造正方体ABCD－A1B1C1D1，可用其中实例说明A1D1与BC1在平面ABCD上的射影互相平行，AB1与BC1在平面ABCD上的射影互相垂直，BC1与DD1在平面ABCD上的射影是一条直线及其外一点．答案①②④7．已知函数f(x)＝lnx－.若f(x)1，∴a>xlnx－x3，令g(x)＝xlnx－x3，h(x)＝g′(x)＝1＋lnx－3x2，h′(x)＝－6x＝，当x∈(1，＋∞)时，h′(x)<0恒成立，∴h(x)在(1，＋∞)上单调递减．∴h(x)－1.答案(－1，＋∞)8．定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且在[－1,0]上是增函数，给出下列关于f(x)的命题：①f(x)是周期函数；②f(x)关于直线x＝1对称；③f(x)在[0,1]上是增函数；④f(x)在[1,2]上是减函数；⑤f(2)＝f(0)．其中正确命题的序号是________．解析由f(x＋1)＝－f(x)，可得f(x＋2)＝f((x＋1)＋1)＝－f(x＋1)＝－(－f(x))＝f(x)，所以函数f(x)是周期函数，它的一个周期为2，所以命题①正确；由f(x＋1)＝－f(x)，令x＝－，可得f＝－f，而函数f(x)为偶函数，所以f＝－f＝－f，解得f＝0，故f＝0.根据函数f(x)在[－1,0]上为增函数及f＝0，作出函数f(x)在[－1,0]上的图象，然后根据f(x)为偶函数作出其在[0,1]上的图象，再根据函数的周期性把函数图象向两方无限延展，即得满足条件的一个函数图象，如图所示.由函数的图象显然可判断出命题②⑤正确，而函数f(x)在[0,1]上是减函数，在[1,2]上是增函数，所以命题③④是错误的．综上，命题①②⑤是正确的．答案①②⑤二、解答题9．设函数f(x)＝x－－alnx(a∈R)．(1)当a＝3时，求f(x)的极值；(2)讨论函数f(x)的单调性．解(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．当a＝3时，f′(x)＝1＋－＝＝.令f′(x)＝0，解得x＝1或2.f′(x)与f(x)随x的变化如下表：x(0,1)1(1,2)2(2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值所以f(x)在x＝1处取得极大值，f(1)＝－1；在x＝2处取得极小值，f(2)＝1－3ln2.(2)f′(x)＝1＋－＝，令g(x)＝x2－ax＋2，其判别式Δ＝a2－8，①当|a|≤2时，Δ≤0，f′(x)≥0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增．②当a<－2时，Δ>0，g(x)＝0的两根都小于0，所以在(0，＋∞)上，f′(x)>0.故f(x)在(0，＋∞)上单调递增．③当a>2时，Δ>0，g(x)＝0的两根为x1＝，x2＝，且都大于0，f′(x)与f(x)随x的变化如下表：x(0，x1)...
