常考问题20矩阵与变换1．求使等式＝M成立的矩阵M
解设M＝，则＝M＝，则⇒即M＝
2．(·江苏卷)已知矩阵A＝，向量β＝
求向量α，使得A2α＝β
解A2＝＝，设α＝，由A2α＝β得，＝，从而，解得所以α＝
3．(·南京，盐城模拟)已知矩阵M＝
(1)求矩阵M的逆矩阵；(2)求矩阵M的特征值及特征向量．解(1)设M－1＝
则＝＝，∴解得∴M－1＝
(2)矩阵A的特征多项式为f(x)＝＝(λ－2)·(λ－4)－3＝λ2－6λ＋5，令f(λ)＝0，得矩阵M的特征值为1或5，当λ＝1时，由二元一次方程得x＋y＝0，令x＝1，则y＝－1，所以特征值λ＝1对应的特征向量为α1＝；当λ＝5时，由二元一次方程得3x－y＝0，令x＝1，则y＝3，所以特征值λ＝5对应的特征向量为α2＝
4．已知矩阵A＝，A的一个特征值λ＝2，其对应的特征向量是α1＝
设向量β＝，试计算A5β的值．解由题设条件可得，＝2，即解得得矩阵A＝
矩阵A的特征多项式为f(λ)＝＝λ2－5λ＋6，令f(λ)＝0，解得λ1＝2，λ2＝3
当λ1＝2时，得α1＝；当λ2＝3时，得α2＝，由β＝mα1＋nα2，得得m＝3，n＝1，∴A5β＝A5(3α1＋α2)＝3(A5α1)＋A5α2＝3(λα1)＋λα2＝3×25＋35＝5．(·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,0)，B(－2,0)，C(－2,1)．设k为非零实数，矩阵M＝，N＝，点A、B、C在矩阵MN对应的变换下得到点分别为A1、B1、C1，△A1B1C1的面积是△ABC面积的2倍，求k的值．解由题设得，MN＝＝，由＝，可知A1(0,0)、B1(0，－2)、C1(k，－2)．计算得△ABC的面积是1，△A1B1C1的面积是|k|，则由题设知：|k|＝2×1＝2
所以k的值为2或－2
6．设M是把坐标平面上的点的横坐标伸长到2倍，纵坐标伸长到3倍的伸压变换
