第六篇数列第1讲数列的概念与简单表示法A级基础演练(时间：30分钟满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．在数列{an}中，a1＝1，a2＝5，an＋2＝an＋1－an(n∈N*)，则a100等于()．A．1B．－1C．2D．0解析法一由a1＝1，a2＝5，an＋2＝an＋1－an(n∈N*)，可得该数列为1,5,4，－1，－5，－4,1,5,4…，.由此可得此数列周期为6，故a100＝－1.法二an＋2＝an＋1－an，an＋3＝an＋2－an＋1，两式相加可得an＋3＝－an，an＋6＝an，∴a100＝a16×6＋4＝a4＝－1.答案B2．已知Sn是数列{an}的前n项和，Sn＋Sn＋1＝an＋1(n∈N*)，则此数列是()．A．递增数列B．递减数列C．常数列D．摆动数列解析 Sn＋Sn＋1＝an＋1，∴当n≥2时，Sn－1＋Sn＝an.两式相减得an＋an＋1＝an＋1－an，∴an＝0(n≥2)．当n＝1时，a1＋(a1＋a2)＝a2，∴a1＝0，∴an＝0(n∈N*)，故选C.答案C3．(·北京朝阳区一模)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－1(n∈N*)，则a5＝()．A．－16B．16C．31D．32解析当n＝1时，S1＝a1＝2a1－1，∴a1＝1，又Sn－1＝2an－1－1(n≥2)，∴Sn－Sn－1＝an＝2(an－an－1)．∴＝2.∴an＝1×2n－1，∴a5＝24＝16.答案B4．(·山东省实验中学测试)将石子摆成如图的梯形形状，称数列5,9,14,20…，为梯形数，根据图形的构成，此数列的第2014项与5的差即a2014－5＝()．A．2020×2012B．2020×2013C．1010×2012D．1010×2013解析结合图形可知，该数列的第n项an＝2＋3＋4…＋＋(n＋2)．所以a2014－5＝4＋5…＋＋2016＝2013×1010.故选D.答案D二、填空题(每小题5分，共10分)5．数列{an}的通项公式an＝－n2＋10n＋11，则该数列前________项的和最大．解析易知a1＝20>0，显然要想使和最大，则应把所有的非负项求和即可，这样只需求数列{an}的最末一个非负项．令an≥0，则－n2＋10n＋11≥0，∴－1≤n≤11，可见，当n＝11时，a11＝0，故a10是最后一个正项，a11＝0，故前10或11项和最大．答案10或116．(·杭州调研)已知数列{an}满足a1＝1，且an＝n(an＋1－an)(n∈N*)，则a2＝________；an＝________.解析由an＝n(an＋1－an)，可得＝，则an＝···…··a1＝×××…××1＝n，∴a2＝2，an＝n.答案2n三、解答题(共25分)7．(12分)在数列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋(n≥2)，求{an}的通项公式．解 an＝an－1＋(n≥2)，∴an＝3an－1＋4，∴an＋2＝3(an－1＋2)．又a1＋2＝3，故数列{an＋2}是首项为3，公比为3的等比数列．∴an＋2＝3n，即an＝3n－2.8．(13分)(·西安质检)若数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋2SnSn－1＝0(n≥2)，a1＝.(1)求证：成等差数列；(2)求数列{an}的通项公式．(1)证明当n≥2时，由an＋2SnSn－1＝0，得Sn－Sn－1＝－2SnSn－1，所以－＝2，又＝＝2，故是首项为2，公差为2的等差数列．(2)解由(1)可得＝2n，∴Sn＝.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝＝－.当n＝1时，a1＝不适合上式．故an＝B级能力突破(时间：30分钟满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．在数列{xn}中，若x1＝1，xn＋1＝－1，则x2013＝()．A．－1B．－C.D．1解析将x1＝1代入xn＋1＝－1，得x2＝－，再将x2代入xn＋1＝－1，得x3＝1，所以数列{xn}的周期为2，故x2013＝x1＝1.答案D2“．定义运算*”，对任意a，b∈R，满足①a*b＝b*a；②a*0＝a；(3)(a*b)*c＝c*(ab)＋(a*c)＋(c*b)．设数列{an}的通项为an＝n**0，则数列{an}为()．A．等差数列B．等比数列C．递增数列D．递减数列解析由题意知an＝*0＝0]n·＋(n*0)＋)＝1＋n＋，显然数列{an}既不是等差数列也不是等比数列；又函数y＝x＋在[1∞，＋)上为增函数，所以数列{an}为递增数列．答案C二、填空题(每小题5分，共10分)3．(·合肥模拟)已知f(x)为偶函数，f(2＋x)＝f(2－x)，当－2≤x≤0时，f(x)＝2x，若n∈N*，an＝f(n)，则a2013＝________.解析 f(x)为偶函数，∴f(x)＝f(－x)，∴f(x＋2)＝f(2－x)＝f(x－2)．故f(x)周期为4，∴a2013＝f(2013)＝f(1)＝f(－1)＝2－1＝.答案4．(·太原调研)设函数f(x)＝数列{an}满足an＝f(n)，n∈N*，且数列{an}是递增数列，则实数a的取值范围是________．解析 数列{an}是递增数列，又an＝f(n)(n∈N*)，∴⇒2
