高考数学 高频考点归类分析 独立事件概率的计算（真题为例）VIP免费

独立事件概率的计算典型例题：例1.（年全国课标卷理5分）某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布，且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为▲【答案】。【考点】正态分布，概率。【解析】∵三个电子元件的使用寿命均服从正态分布，∴三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为。∴超过1000小时时元件1或元件2正常工作的概率。∴该部件的使用寿命超过1000小时的概率为。例2.（年全国大纲卷文12分）乒乓球比赛规则规定，一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换，每次发球，胜方得1分，负方得0分．设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立．甲、乙的一局比赛中，甲先发球．（1）求开球第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；（2）求开始第5次发球时，甲得分领先的概率．【答案】解：记iA“为事件第i”次发球，甲胜，i=1,2,3，则。（1“）事件开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2”为123123123AAAAAAAAA，由互斥事件有一个发生的概率加法公式得123123123()PAAAAAAAAA0.60.40.60.40.60.60.40.40.40.352。即开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率为0.352。（2）开始第5次发球时，甲得分领先的情况是4比0，3比1。甲得分是4比0的概率是；甲得分是3比1的概率是∴开始第5次发球时，甲得分领先的概率是0.0576+0.2496=0.3072。【考点】独立事件的概率。【解析】首先要理解发球的具体情况，然后对于事件的情况分析、讨论，并结合独立事件的概率求解结论。例3.（年四川省文12分）某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统）和，系统和系统在任意时刻发生故障的概率分别为和。（Ⅰ）若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，求的值；（Ⅱ）求系统在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率。【答案】解：（Ⅰ）设“”至少有一个系统不发生故障为事件C，那么，解得。“（Ⅱ）设系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次”数为事件D,那么=。答：检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率为。【考点】相互独立事件，独立重复试验、互斥事件、概率等概念。【解析】“”（Ⅰ）求出至少有一个系统不发生故障的对立事件的概率，利用至少有一个系统不发生故障的概率为，可求的值。（Ⅱ）根据相互独立的事件的概率的求法求解即可。例4.（年重庆市文13分）甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投且先投中者获胜，一直每人都已投球3次时投篮结束，设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响。（Ⅰ）求乙获胜的概率（7分）；（Ⅱ）求投篮结束时乙只投了2个球的概率（6分）。“【答案】解：（Ⅰ）记乙获”胜为事件，甲3次投篮投中为，乙3次投篮投中为。∵，∴。由互斥事件由一个发生的概率公式与相互独立事件同时发生的概率公式得“（Ⅱ）记乙只投了2个球”为事件。由于投篮结束时乙只投了2个球，说明第一次投球甲乙都没有投中，第二次投球甲没有投中、乙投中，或第三次投球甲投中了。∴【考点】相互独立事件的概率乘法公式，概率的基本性质。【分析】（Ⅰ）分别求出乙第一次投球获胜的概率、乙第二次投球获胜的概率、乙第三次投球获胜的概率，相加即得所求。（Ⅱ）由于投篮结束时乙只投了2个球，说明第一次投球甲乙都没有投中，第二次投球甲没有投中、乙投中，或第三次投球甲投中了，把这两种情况的概率相加，即得所求。