课时知能训练一、选择题1．(2012·潍坊模拟)设a，b，c都是正数，则a＋，b＋，c＋三个数()A．都大于2B．都小于2C．至少有一个不大于2D．至少有一个不小于2【解析】∵(a＋)＋(b＋)＋(c＋)，＝(a＋)＋(b＋)＋(c＋)≥6，当且仅当a＝b＝c时取等号，∴三个数中至少有一个不小于2.【答案】D2．设f(x)＝x2＋bx＋c是[－1,1]上的增函数，且f(－)·f()<0，则方程f(x)＝0在[－1,1]内()A．可能有3个实根B．可能有2个实根C．有唯一实根D．没有实根【解析】∵f(－)f()<0，∴方程f(x)＝0在(－，)内有根．又∵f(x)是[－1,1]上的增函数．∴方程f(x)＝0在[－1,1]内有唯一的实根．【答案】C3．用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的反设为()A．a，b，c中至少有两个偶数B．a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数C．a，b，c都是奇数D．a，b，c都是偶数【解析】“自然数a，b，c中恰有一个偶数”的否定为“a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数”．【答案】B4．若P＝＋，Q＝＋(a≥0)，则P、Q的大小关系是()A．P＞QB．P＝QC．P＜QD．由a的取值确定【解析】∵P2＝2a＋7＋2＝2a＋7＋2，Q2＝2a＋7＋2＝2a＋7＋2，∴P2＜Q2，∴P＜Q.【答案】C5．已知函数f(x)＝()x，a，b是正实数，A＝f()，B＝f()，C＝f()，则A、B、C的大小关系为()A．A≤B≤CB．A≤C≤BC．B≤C≤AD．C≤B≤A【解析】∵≥≥，又f(x)＝()x在R上是减函数，∴f()≤f()≤f()，即A≤B≤C.【答案】A二、填空题6．已知f(n)＝－n，g(n)＝n－，φ(n)＝(n∈N*，n＞2)，则f(n)，g(n)，φ(n)的大小关系是________．【解析】∵f(n)＝－n＝＜，g(n)＝n－＝＞，∴f(n)＜φ(n)＜g(n)．【答案】f(n)＜φ(n)＜g(n)7．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，其导数f′(x)有最小值，则a与0的大小关系为________．【解析】f′(x)＝3ax2＋2bx＋c为二次函数，且有最小值，则a＞0.【答案】a＞08．凸函数的性质定理为：如果函数f(x)在区间D上是凸函数，则对于区间D内的任意x1，x2，…，xn，有≤f()，已知函数y＝sinx在区间(0，π)上是凸函数，则在△ABC中，sinA＋sinB＋sinC的最大值为________．【解析】∵f(x)＝sinx在区间(0，π)上是凸函数，且A、B、C∈(0，π)，∴≤f()＝f()，即sinA＋sinB＋sinC≤3sin＝，所以sinA＋sinB＋sinC的最大值为.【答案】三、解答题9．(2012·珠海模拟)已知函数y＝f(x)是R上的增函数．(1)若a，b∈R且a＋b≥0，求证：f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)；(2)写出(1)中的命题的逆命题，判断真假并证明你的结论．【解】(1)∵函数y＝f(x)是R上的增函数，又∵a＋b≥0，∴a≥－b，b≥－a，∴f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)，∴f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．(2)逆命题：若a、b∈R，f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，用心爱心专心1则a＋b≥0.真命题．证明如下：假设a＋b<0，∵y＝f(x)是R上的增函数，∴当a<－b时，f(a)0，求证：－≥a＋－2.【证明】要证－≥a＋－2，只要证＋2≥a＋＋.∵a>0，故只要证2≥2，即a2＋＋4＋4≥a2＋2＋＋2(a＋)＋2，从而只要证2≥(a＋)，只要证4(a2＋)≥2(a2＋2＋)，即a2＋≥2，而上述不等式显然成立，故原不等式成立．用心爱心专心2
