第三讲思想方法与规范解答（三）思想方法1．函数与方程思想函数与方程思想在数列中的应用主要体现在：(1)等差、等比数列基本元素的计算，尤其是“知三求二”，注意消元的方法及整体代换的运用；(2)数列本身是定义域为正整数集或其有限子集的函数，在解决数列问题时，应有函数与方程思想求解的意识．[例1](2012年郑州模拟)已知等差数列{an}满足：a5＝9，a2＋a6＝14.(1)求{an}的通项公式；(2)若bn＝an＋qan(q>0)，求数列{bn}的前n项和Sn.[解析](1)设数列{an}的首项为a1，公差为d，则由a5＝9，a2＋a6＝14，得解得所以{an}的通项an＝2n－1.(2)由an＝2n－1得bn＝2n－1＋q2n－1.当q>0且q≠1时，Sn＝[1＋3＋5＋…＋(2n－1)]＋(q1＋q3＋q5＋…＋q2n－1)＝n2＋；当q＝1时，bn＝2n，则Sn＝n(n＋1)．所以数列{bn}的前n项和Sn＝跟踪训练已知两个等比数列{an}，{bn}满足a1＝a(a>0)，b1－a1＝1，b2－a2＝2，b3－a3＝3.(1)若a＝1，求数列{an}的通项公式；(2)若数列{an}唯一，求a的值．解析：(1)设数列{an}的公比为q，则b1＝1＋a＝2，b2＝2＋aq＝2＋q，b3＝3＋aq2＝3＋q2，1由b1，b2，b3成等比数列得(2＋q)2＝2(3＋q2)，即q2－4q＋2＝0，解得q1＝2＋，q2＝2－所以数列{an}的通项公式为an＝(2＋)n－1或an＝(2－)n－1.(2)设数列{an}的公比为q，则由(2＋aq)2＝(1＋a)(3＋aq2)得aq2－4aq＋3a－1＝0.(*)由a>0得Δ＝4a2＋4a>0，故方程(*)有两个不同的实根．由数列{an}唯一，知方程(*)必有一根为0，代入(*)得a＝.2．分类讨论思想数列中的讨论问题常见类型(1)求和分段讨论：知道数列{an}的前n项和Sn，求数列{|an|}的前n项和；(2)对等比数列的公比讨论：求等比数列前n项和问题中对公比q＝1和q≠1进行讨论；(3)对项数的奇偶讨论：与数列有关的求通项或求前n项和问题中对项数n的奇偶进行讨论．[例2](2012年高考湖北卷)已知等差数列{an}前三项的和为－3，前三项的积为8.(1)求等差数列{an}的通项公式；(2)若a2，a3，a1成等比数列，求数列{|an|}的前n项和．[解析](1)设等差数列{an}的公差为d，则a2＝a1＋d，a3＝a1＋2d.由题意得解得或所以由等差数列通项公式可得an＝2－3(n－1)＝－3n＋5，或an＝－4＋3(n－1)＝3n－7.故an＝－3n＋5，或an＝3n－7.(2)当an＝－3n＋5时，a2，a3，a1分别为－1，－4，2，不成等比数列；当an＝3n－7时，a2，a3，a1分别为－1，2，－4，成等比数列，满足条件．故|an|＝|3n－7|＝记数列{|an|}的前n项和为Sn.当n＝1时，S1＝|a1|＝4；当n＝2时，S2＝|a1|＋|a2|＝5；当n≥3时，Sn＝S2＋|a3|＋|a4|＋…＋|an|＝5＋(3×3－7)＋(3×4－7)＋…＋(3n－7)＝5＋＝n2－n＋10.当n＝2时，满足此式．综上，Sn＝2跟踪训练在等比数列{an}中，设前n项和为Sn，x＝S＋S，y＝Sn(S2n＋S3n)，试比较x与y的大小．解析：设等比数列的首项为a1，公比为q，则当q＝1时，Sn＝na1，∴x＝(na1)2＋(2na1)2＝5n2a，y＝na1(2na1＋3na1)＝5n2a，∴x＝y；当q≠1时，Sn＝，∴x＝[]2＋[]2＝()2[(1－qn)2＋(1－q2n)2]＝()2(q4n－q2n－2qn＋2)，y＝[＋]＝()2(q4n－q2n－2qn＋2)，∴x＝y，综上可知x＝y.考情展望高考对本专题的考查各种题型都有，在选择填空中主要考查等差、等比数列的基本问题，在解答题中主要考查，由递推关系求通项及数列求和问题，同时综合考查数列与不等式，函数的综合应用，难度中档偏上．名师押题【押题】已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝，且Sn＝Sn－1＋an－1＋(n∈N*，n≥2)，数列{bn}满足：b1＝－，且3bn－bn－1＝n(n≥2，且n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)求证：数列{bn－an}为等比数列；(3)求数列{bn}的前n项和的最小值．【解析】(1)由Sn＝Sn－1＋an－1＋得Sn－Sn－1＝an－1＋，即an－an－1＝(n∈N*，n≥2)，则数列{an}是以为公差的等差数列，∴an＝a1＋(n－1)×＝n－(n∈N*)．(2)证明：∵3bn－bn－1＝n(n≥2)，∴bn＝bn－1＋n(n≥2)，∴bn－an＝bn－1＋n－n＋＝bn－1－n＋＝(bn－1－n＋)(n≥2)，bn－1－an－1＝bn－1－(n－1)＋＝bn－1－n＋(n≥2)，∴bn－an＝(bn－1－an－1)(n≥2)，∵b1－a1＝－30≠0，∴＝(n≥2)，∴数列{bn－an}是以－30为首项，为公比的等比数列．(3)由(2)得bn－an＝－30×()n－1，∴bn＝an－30×()n－1＝n－－30×()n－1.∴bn－bn－1＝n－－30×()n－1－(n－1)＋＋30×()n－2＝＋30×()n－2×(1－)＝＋20×()n－2>0(n≥2)，∴数列{bn}是递增数列．∵当n＝1时，b1＝－<0；当n＝2时，b2＝－10<0；当n＝3时，b3＝－<0；当n＝4时，b4＝－>0，∴数列{bn}从第4项起各项均大于0，故数列{bn}的前3项之和最小，记数列{bn}的前n项和为Tn，则T3＝－＋(－10)＋(－)＝－.34
