抽象函数问题的“原型”解法抽象函数问题是学生学习中的一个难点，也是各种考试测评的热点问题之一。研究发现，由抽象函数结构、性质，联想已学过的基本函数，再由基本函数的相关结论，预测、猜想抽象函数可能有的相关结论，是使抽象函数问题获解的一种有效方法。所谓抽象函数，是指没有明确给出函数表达式，只给出它具有的某些特征或性质，并用一种符号表示的函数。由抽象函数构成的数学问题叫抽象函数问题，这类问题是学生学习中的一个难点，也是各种考试测评的热点问题之一。研究抽象函数问题的解法，对教师的教学，学生深刻理解并牢固掌握函数的相关内容，学好大纲规定的基本函数知识显得尤为重要。抽象来源于具体。抽象函数是由特殊的、具体的函数抽象而得到的。如有可抽象为。那么=就叫做抽象函数满足的“原型”（函数），分析抽象函数问题的解题过程及心理变化规律可知，一般均是由抽象函数的结构，联想到已学过的具有相同或相似结构的某类（基本）“原型”函数，并由“原型”函数的相关结论，预测、猜想抽象函数可能具有的某种性质使问题获解的，称这种解抽象函数问题的方法为“原型”解法。下面给出中学阶段常用的“原型”（函数）并举例说明“原型”解法。知识梳理一、中学阶段常用抽象函数的“原型”（函数）1、——2、——3、——4、——5、或－－6、－－二、“原型”解法例析例题1.设函数满足，且()=0，、∈R；求证：为周期函数，并指出它的一个周期。变式训练：已知函数满足，若，试求(2005)。用心爱心专心1例题2已知函数对于任意实数、都有，且当＞0时，＞0，(-1)=-2，求函数在区间[-2，1]上的值域。变式训练已知函数对于一切实数、满足(0)≠0，，且当<0时，＞1（1）当＞0时，求的取值范围（2）判断在R上的单调性例题3已知函数定义域为(0,+∞)且单调递增，满足(4)=1，（1）证明：(1)=0；(2)求(16)；（3）若+(-3)≤1，求的范围；（4）试证()=（n∈N）变式训练已知函数对于一切正实数、都有且＞1时，用心爱心专心2＜1，(2)=(1)求证：＞0；（2）求证：在（0，+∞）上为单调减函数（3）若=9，试求的值。综上所述，由抽象函数问题的结构特征，联想已学过的具有相同或相似结构的基本（原型）函数，并由基本函数的相关结构，预测、猜想抽象函数可能具有的性质“抽象——具体——抽象”的“原型”联想思维方式，可使抽象函数问题顺利获解，且进一步说明，学生学好大纲规定的几种基本函数相关知识的重要性。自我反思用心爱心专心3
