第二十八章锐角三角函数本章小结小结1本章概述锐角三角函数、解直角三角形，它们既是相似三角形及函数的继续，也是继续学习三角形的基础．本章知识首先从工作和生活中经常遇到的问题人手，研究直角三角形的边角关系、锐角三角函数等知识，进而学习解直角三角形，进一步解决一些简单的实际问题．只有掌握锐角三角函数和直角三角形的解法，才能继续学习任意角的三角函数和解斜三角形等知识，同时解直角三角形的知识有利于培养数形结合思想，应牢固掌握．小结2本章学习重难点【本章重点】通过实例认识直角三角形的边角关系，即锐角三角函数(sinA，cosA，tanA)，知道30°，45°，60°角的三角函数值，会运用三角函数知识解决与直角三角形有关的简单的实际问题．【本章难点】综合运用直角三角形的边边关系、边角关系来解决实际问题．【学习本章应注意的问题】在本章的学习中，应正确掌握四种三角函数的定义，熟记特殊角的三角函数值，要善于运用方程思想求直角三角形的某些未知元素，会运用转化思想通过添加辅助线把不规则的图形转化为规则的图形来求解，会用数学建模思想和转化思想把一些实际问题转化为数学模型，从而提高分析问题和解决问题的能力．小结3中考透视这一章在中考中主要考查一些特殊角的三角函数值及几个三角函数间的关系，主要题型是选择题、填空题．另外解直角三角形在实际问题中的应用也是考查的一个重点，主要题型是填空题和解答题，约占3～7分．知识网络结构图专题总结及应用一、知识性专题专题1：锐角三角函数的定义【专题解读】锐角三角函数定义的考查多以选择题、填空题为主．例1如图28－123所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝1，AB＝2，则下列结论正确的是()A．sinA＝32B．tanA＝12C．cosB＝32D．tanB＝3分析sinA＝BCAB＝12，tanA＝BCAC＝33，cosB＝BCAB＝12．故选D.例2在△ABC中，∠C＝90°，cosA＝35,则tanA等于()A．35B．45C．34D．43分析在Rt△ABC中，设AC＝3k，AB＝5k，则BC＝4k，由定义可知tanA＝4433BCkACk．故选D.用心爱心专心1直角三角形中的边角关系锐角三角函数解直角三角形实际问题分析在Rt△ABC中，BC＝222254ABAC＝3，∴sinA＝35BCAB．故填35．专题2特殊角的三角函数值【专题解读】要熟记特殊角的三角函数值．例4计算|－3|＋2cos45°－(3－1)0．分析cos45°＝22．解：原式＝3＋2×22－1＝2＋2．例5计算－12＋9＋(－1)2007－cos60°．分析cos60°＝12．解：原式＝12＋3＋(－1)－12＝3－1＝2．例6计算|－2|＋(cos60°－tan30°)0＋8．分析cos60°＝12，tan30°＝33，∴cos60°－tan30°≠0，∴(cos60°－tan30°)0＝1，解：原式＝2＋1十＋22＝32＋1．例7计算312－(π－3.14)0－|1－tan60°|－132.分析tan60°＝3.解：原式＝8－1－3＋1＋3＋2＝10.专题3锐角三角函数与相关知识的综合运用【专题解读】锐角三角函数常与其他知识综合起来运用，考查综合运用知识解决问题的能力.例8如图28－124所示，在△ABC中，AD是BC边上的高，E为AC边的中点，BC＝14，AD＝12，sinB＝45．(1)求线段DC的长；(2)求tan∠EDC的值.分析在Rt△ABD中，由sinB＝ADAB，可求得BD，从而求得CD．由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得DE＝12AC＝EC，则∠EDC＝∠C，所以求tan∠EDC可以转化为求tanC.解：(1) AD是BC边上的高，∴AD⊥BC用心爱心专心2在Rt△ABD中，sinB＝ADAB． AD＝12，sinB＝45，∴AB＝15，∴BD＝22ABAD＝221512＝9． BC＝14，∴CD＝5．(2)在Rt△ADC中， AE＝EC，∴DE＝12AC＝EC，∴∠EDC＝∠C tanC＝ADDC＝125,∴tan∠EDC＝tanC＝125．例9如图28－125所示，在△ABC中，AD是BC边上的高，tanB＝cos∠DAC.(1)求证AC＝BD；(2)若sinC＝1213，BC＝12，求AD的长．分析(1)利用锐角三角函数的定义可得AC＝BD．(2)利用锐角三角函数与勾股定理可求得AD的长．证明：(1) AD是BC边上的高，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∠ADC＝90°．在Rt△ABD和Rt△ADC中， tanB＝ADBD，cos∠DAC＝ADAC，tanB＝cos∠DAC，∴ADBD＝ADAC，∴AC＝BD.解：(2)在Rt△ADC中，sinC＝1213，设AD＝12k，AC＝13k，∴CD＝22ACAD＝5k． BC＝BD＋C...
