角的平分线的性质如图，是一个角平分仪，其中AB=AD,BC=DC.将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线，你能说明它的道理吗?ADBCE探究证明：在△ACD和△ACB中AD=AB（已知）DC=BC（已知）CA=CA（公共边）∴△ACDACB≌△（SSS）∴∠CAD=CAB∠（全等三角形的对应边相等）∴AC平分∠DAB（角平分线的定义）ADBCE证明根据角平分仪的制作原理怎样作一个角的平分线？（不用角平分仪或量角器）OABCENOMCENM方法1〉平分平角∠AOB2〉通过上面的步骤，得到射线OC以后，把它反向延长得到直线CD，直线CD与直线AB是什么关系？3〉结论：作平角的平分线即可平分平角，由此也得到过直线上一点作这条直线的垂线的方法.ABOCD练习探究角平分线的性质将∠AOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？猜想:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.探究证明：∵OC平分∠AOB（已知）∴∠1=2∠（角平分线的定义）∵PDOA⊥，PEOB⊥（已知）∴∠PDO=PEO∠（垂直的定义）在△PDO和△PEO中∠PDO=PEO∠（已证）∠1=2∠（已证）OP=OP（公共边）∴△PDOPEO≌△（AAS）∴PD=PE（全等三角形的对应边相等）PAOBCED12已知：如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PDOA⊥于点D，PEOB⊥于点E求证:PD=PE证明角平分线上角平分线上的点到角两的点到角两边的距离相边的距离相等等..利用此性质怎样书写推理过程?∵∠1=2,∠PD⊥OA，PE⊥OB（已知）∴PD=PE（全等三角形的对应边相等）PAOBCED12如图:在△ABC中,C=∠90°AD是∠BAC的平分线，DEAB⊥于E，F在AC上，BD=DF求证：CF=EBACDEBF分析:要证CF=EB,首先我们想到的是要证它们所在的两个三角形全等,即RtCDF△≌RtEDB.△现已有一个条件BD=DF(斜边相等),还需要我们找什么条件DC=DE(因为角的平分线的性质)再用HL证明.例题定理角平分线上的点到这个角的两边距离相等.∵OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点PDOA,PEOB,⊥⊥垂足分别是D,E(已知)∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).用尺规作角的平分线.OCB1A2PDE小结
