空间向量的应用VIP免费

1.知识再现用空间向量处理立体几何的问题2.用向量处理角的问题3.用向量处理距离问题4.用向量处理平行问题5.用向量处理垂直问题6.高考题回顾7.方法小结212121(,,)ABxxyyzz�1.知识再现zxyoA(x,y,z)（1）空间直角坐标系a123aaiajak若123(,,)aaaa则(,,)OAxyz�111222(,,),(,,).AxyzBxyz设212121(,,)ABxxyyzz�ijkzxyojkia2.向量的直角坐标运算123123112233112233123112233112233112233(,,),(,,)(,,)(,,)(,,)()||,,0aaaabbbbababababababababaaaaRabababababababababababab设3.夹角和距离公式OjikXYZAB123123223123123123123223222212121:(,,),(,,),||,||,cos,||||:(,,);(,,):||()()()aaaabbbbaaaaaabbbbbbabababAxyzBxyzABxxyyzz�设则设则4.平面的法向量如果表示向量的有向线段所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面,记作⊥如果⊥，那么向量叫做平面的法向量.aaaaa一、用向量处理角的问题BAOB`A`O`DPXYZ,2,4),(3,0,)(,2,4).(3,0,)9,4029,`8.PzOPZOPOPZZBBAOBPOBOPAOB��解:建立如图的空间直角坐标系,3由题意B(3,0,0),D(设23则BD2BDBD平面3为与底面所成的角,POB=arctan8,```PBBDAB0例1:(2002上海高考题)如图在直三棱柱ABO-A`B`O`中,OO`=4,OA=4,OB=3,AOB=90是侧棱上的一点,为中点,若OPBD,求OP与底面AOB所成角的大小.1100111112:(2002,,60,90,2,3.;(2)OABOABOBBOOABOOBAOBOBOOOAOABOABAO111例年上海春季高考题)如图:三棱柱-平面平面且求:(1)二面角的大小异面直线与所成角的大小.1AAB1B1O111:(1),,(0,0,0),(0,1,3),(3,0,0)(3,13),(0,2,0),(3,1,3),(3,2,0)OOAOBxyOAOBzOOAABAOAB�解以为原点,分别以所在的直线为轴,过点且与平面垂直的直线为轴,建立空间直角坐标系.如图所示.则11221212212121(0,0,1).(,,).0,0.3230:,3,2,132012(2,3,1).cos,4||||22,OZAOBnOABnxyznAOnABxyzyxzxynnnnnnnn�������显然为平面的法向量取设平面的法向量为则即令2122arccos.arccos.44nOABO�故二面角的大小为XYZO1AAB1B1OOXYZ11111111111(2),(3,1,3),(3,1,3)17|||1arccos.7ABAOABOAOAOOABOACOSABOAABAO����设异面直线与所成的角为则与所成的角为返回二、用向量处理距离问题3:(1991)4,,2,ABCDEFADABGCABCDGCBEFG例年全国高考理科试题如图已知是边长为的正方形,分别是的中点,垂直于所在的平面,且求点到平面的距离.ABCDEFGXYZ02000:,,,,(0,2,0),(0,4,0),(4,4,0),(4,0,0),(4,2,0),(2,4,0).(4,2,2),(2,4,2)(,,),:||100CDCBCGXYZGBADEFGEGFEFGnxyznnGEnGF������解以的方向为轴轴轴的正方向建立空间坐标系,则设平面的法向量为则有22200111111120(0)1103111111(1,1,3),2(0,4,1)(0,8,2)11112|||(1,1,3)(0,8,2)|11.1111211.11xxyzxyzyzxyzznGBdnGBBEFG��取又即点到平面的距离为:,||AOOeAdAOe�评注若平面的斜线交于点是单位法向量,则到平面的距离为11111114,3,2,,,ABCDABCDABADAAMNDCBBMNAB例4:在长方体中,为的中点,求异面直线与的距离.XYZABCD1A1B1D1CMN1111(3,2,1)(0,4,2).,0320(,,),420044610,2,,(,1,2).||333(3,MNMNABMNABnMNxyznxyzyznAByzxnnMA�������解:建立如图所示的空间直角坐标系,则(3,2,0),(0,4,1),设公垂线的方向向量为则有令则又112,2)43|(3,2,2)(,1,2)|6613|.61||61661:.61nMAnnMNAB��在的射影的长度为:d=|即异面直线与的距离为:,,,,;(3)bbbABABAB...