课时分层作业(二十一)(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．圆x2＋y2－4x＋4y＋6＝0截直线x－y－5＝0所得的弦长等于()A.B.C．1D．5A[圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋2)2＝2，则圆的半径r＝，圆心到直线的距离d＝＝，所以直线被圆截得的弦长为2＝2＝.]2．直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝1的位置关系是()A．相交B．相切C．相离D．无法确定，与m的取值有关A[圆心到直线的距离d＝＝<1＝r.故相交．]3．以点(2，－1)为圆心，且与直线3x－4y＋5＝0相切的圆的方程为()A．(x－2)2＋(y＋1)2＝3B．(x＋2)2＋(y－1)2＝3C．(x＋2)2＋(y－1)2＝9D．(x－2)2＋(y＋1)2＝9D[圆心到直线3x－4y＋5＝0的距离d＝＝3，即圆的半径为3，所以所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝9.]4．直线l与圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0(a<3)相交于A，B两点，若弦AB的中点为C(－2，3)，则直线l的方程为()A．x－y＋5＝0B．x＋y－1＝0C．x－y－5＝0D．x＋y－3＝0A[由圆的一般方程可得圆心为M(－1，2)．由圆的性质易知M(－1，2)与C(－2，3)的连线与弦AB垂直，故有kAB×kMC＝－1⇒kAB＝1，故直线AB的方程为y－3＝x＋2，整理得x－y＋5＝0.]5．若直线x－y＝2被圆(x－a)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则实数a的值为()A．0或4B．0或3C．－2或6D．－1或A[由圆的方程，可知圆心坐标为(a，0)，半径r＝2.又直线被圆截得的弦长为2，所以圆心到直线的距离d＝＝.又d＝，所以|a－2|＝2，解得a＝4或a＝0.故选A.]二、填空题6．若P(2，－1)为圆(x－1)2＋y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程为______________．x－y－3＝0[由圆的性质可知，此弦与过点P的直径垂直，故kAB＝－＝1.故所求直线方程为x－y－3＝0.]7．已知过点P(2，2)的直线与圆(x－1)2＋y2＝5相切，且与直线ax－y＋1＝0垂直，则a＝________．2[由题意知圆心为(1，0)，由圆的切线与直线ax－y＋1＝0垂直，可设圆的切线方程为x＋ay＋c＝0，由切线x＋ay＋c＝0过点P(2，2)，∴c＝－2－2a，∴＝，解得a＝2.]8．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C与x轴交于A(1，0)，B(3，0)两点，且与直线x－y－3＝0相切，则圆C的半径为__________．[设圆心为(2，b)，则半径r＝.又＝，解得b＝1，r＝.]三、解答题9．求过直线2x＋y＋4＝0与圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的交点，且分别满足下列条件的圆的方程．(1)过原点；(2)有最小面积．[解]设所求圆的方程为x2＋y2＋2x－4y＋1＋λ(2x＋y＋4)＝0，即x2＋y2＋2(1＋λ)x＋(λ－4)y＋(1＋4λ)＝0.①(1)因为所求的圆过原点，所以1＋4λ＝0，即λ＝－，故所求圆的方程为x2＋y2＋x－y＝0.(2)当半径长最小时，圆面积也最小．把方程①化为标准形式，得[x＋(1＋λ)]2＋＝＋，所以当λ＝时r2＝＋取得最小值rmin＝.所以所求圆的方程为＋＝.10．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝4和直线l：kx－y－4k＋3＝0，(1)求证：不论k取何值，直线和圆总相交；(2)求当k取何值时，圆被直线l截得弦最短，并求此最短值．[解](1)证明：由圆的方程(x－3)2＋(y－4)2＝4得圆心(3，4)，半径r＝2，由直线方程得l：y－3＝k(x－4)，即直线l过定点(4，3)，而(4－3)2＋(3－4)2＝2<4，所以(4，3)点在圆内．故直线kx－y－4k＋3＝0与圆C总相交．(2)因为直线经过定点P(4，3)，所以当PC与直线l垂直时，圆被直线截得的弦最短，设直线与圆的交点为A，B，则由勾股定理得＝r2－|CP|2＝4－2＝2，所以AB＝2，又因为PC与直线kx－y－4k＋3＝0垂直，直线PC的斜率为kPC＝＝－1，所以直线kx－y－4k＋3＝0的斜率为k＝1.所以当k＝1时，圆被直线截得的弦最短，最短弦的长为2.[等级过关练]1．若a2＋b2＝2c2(c≠0)，则直线ax＋by＋c＝0被圆x2＋y2＝1所截得的弦长为()A.B．1C.D.D[圆心到直线的距离d＝＝，设弦长为l，圆的半径为r，则＋d2＝r2，即l＝2＝.]2．与圆C：x2＋y2－4x＋2＝0相切，且在x，y轴上的截距相等的直线共有()A．1条B．2条C．3条D．4条C[圆C的方程可化为(x－2)2＋y2＝2.可分为两种情况讨论：(1)直线在x，y轴上的截距均为0，易知直线斜率必存在，设直线方程为y＝kx，则＝，解得k＝±1；(2)直线在x，y轴上的截距均不为0，则可设直线方程为＋＝1(a≠0)，即x＋y－a＝0(a≠0)，则＝，解得a＝4(a＝0舍去)．因此满足条件...
