考查角度1用导数解决函数的单调性、极值与最值问题分类透析一求函数的单调区间例1已知函数f(x)=ax3+x2(a∈R)在x=-43处取得极值.(1)确定a的值;(2)若g(x)=f(x)ex,求函数g(x)的单调减区间.分析(1)先求出函数的导数,然后把x=-43代入可确定a的值;(2)先求出g(x)的函数解析式,再求导数,最后利用导数求单调性的方法求出单调递减区间.解析(1)对f(x)求导得f'(x)=3ax2+2x,因为f(x)在x=-43处取得极值,∴f'(-43)=0,即3a×169+2×(-43)=16a3-83=0,解得a=12.(2)由(1)得g(x)=(12x3+x2)ex,故g'(x)=(32x2+2x)ex+(12x3+x2)ex=(12x3+52x2+2x)ex=12x(x+1)(x+4)ex.令g'(x)<0,得x(x+1)(x+4)<0,解得-10,∴h'(x)=1x-ax-2.若函数h(x)在(0,+∞)上存在单调递减区间,则当x>0时,1x-ax-2<0有解,即a>1x2-2x有解.设G(x)=1x2-2x,x>0,∴a>G(x)min.又G(x)=(1x-1)2-1,∴G(x)min=-1.∴a>-1.即实数a的取值范围是(-1,+∞).(2) h(x)=lnx-12ax2-2x在[1,4]上单调递减,∴当x∈[1,4]时,h'(x)=1x-ax-2≤0恒成立,则a≥1x2-2x恒成立.设G(x)=1x2-2x,x∈[1,4],∴a≥G(x)max.又G(x)=(1x-1)2-1,x∈[1,4],∴G(x)max=-716(此时x=4),∴a≥-716.故实数a的取值范围是[-716,+∞).方法技巧1.已知函数的单调性,求参数的取值范围,应用条件f'(x)≥0(或f'(x)≤0),x∈(a,b)恒成立,求出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立的理论求解),应注意参数的取值范围是f'(x)不恒等于0的参数的取值范围.2.若函数y=f(x)在区间(a,b)上不是单调函数,则问题转化为f'(x)=0在(a,b)上有解.分类透析三已知函数求极值(点)例3已知函数f(x)=x-1+aex(a∈R,e为自然对数的底数).(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于x轴,求a的值;(2)求函数f(x)的极值.分析运用导数的几何意义求出参数的值,求带有参数的函数的极值时,要注意分类讨论.解析(1)由f(x)=x-1+aex,得f'(x)=1-aex.又曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于x轴,得f'(1)=0,即1-ae=0,解得a=e.(2)f'(x)=1-aex,①当a≤0时,f'(x)>0,f(x)为(-∞,+∞)上的增函数,所以函数f(x)无极值.②当a>0时,令f'(x)=0,得ex=a,即x=lna,当x∈(-∞,lna)时,f'(x)<0;当x∈(lna,+∞)时,f'(x)>0.所以f(x)在(-∞,lna)上单调递减,在(lna,+∞)上单调递增.故f(x)在x=lna处取得极小值且极小值为f(lna)=lna,无极大值.综上,当a≤0时,函数f(x)无极值;当a>0时,f(x)在x=lna处取得极小值lna,无极大值.方法技巧函数极值的两类热点问题(1)由函数极值求参数的值或取值范围.已知函数极值,利用导数的几何意义求参数的值,利用极值点的定义求参数的取值范围.(2)求函数f(x)的极值这类问题的一般解题步骤:①确定函数的定义域;②求导数f'(x);③解方程f'(x)=0,求出在函数定义域内方程的所有根;④列表检验f'(x)在f'(x)=0的根x0左右两侧值的符号,如果左正右负,那么f(x)在x0处取极大值,如果左负右正,那么f(x)在x0处取极小值.分类透析四利用导数求函数的最值例4已知函数f(x)=lnx-ax(a∈R).(1)求函数f(x)的单调区间;(2)当a>0时,求函数f(x)在[1,2]上的最小值.分析(1)已知函数的解析式求单调区间,实质上是求导数f'(x)>0,f'(x)<0的解区间,并注意定义域.(2)先研究函数f(x)在[1,2]上的单调性,再确定最值是端点值还是极值.(3)两小问中,由于解析式中含有参数a,所以要对参数a进行分类讨论.解析(1)f'(x)=1x-a(x>0),①当a≤0时,f'(x)=1x-a>0,即函数f(x)的单调递增区间为(0,+∞).②当a>0时,令f'(x)=1x-a=0,可得x=1a;当00;当x>1a时,f'(x)=1-axx<0.故函数f(x)的单调递增区间为(0,1a),单调递减区间为(1a,+∞).综上可知,当a≤0时,函数f(x)的单调递...
