§9.5抛物线及其性质考纲解读考点内容解读要求高考示例常考题型预测热度1.抛物线的定义及其标准方程1.了解抛物线的定义,并会用定义进行解题2.掌握求抛物线标准方程的基本步骤(定型、定位、定量)和基本方法(定义法和待定系数法)Ⅲ2017课标全国Ⅱ,12;2017山东,15;2016四川,3;2014课标Ⅰ,10;2013江西,9选择题、填空题、解答题★★☆2.抛物线的几何性质1.知道抛物线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)2.能用其性质解决有关的抛物线问题,了解抛物线的一些实际应用Ⅱ2017天津,12;2016课标全国Ⅱ,5;2015四川,10选择题、填空题、解答题★★☆3.直线与抛物线的位置关系1.会用代数法和数形结合法判断直线与抛物线的位置关系2.根据所学知识熟练解决直线与抛物线位置关系的综合问题Ⅲ2017课标全国Ⅰ,20;2016课标全国Ⅰ,20;2016课标全国Ⅲ,20选择题、填空题、解答题★★★分析解读从近几年的高考试题来看,抛物线的定义、标准方程、几何性质以及直线与抛物线的位置关系等一直是高考命题的热点,题型既有选择题、填空题,又有解答题;客观题突出“小而巧”的特点,主要考查抛物线的定义、标准方程,主观题考查得较为全面,除考查定义、性质之外,还考查直线与抛物线的位置关系,考查基本运算能力、逻辑思维能力和综合分析问题的能力,着力于数学思想方法及数学语言的考查.五年高考考点一抛物线的定义及其标准方程1.(2016四川,3,5分)抛物线y2=4x的焦点坐标是()A.(0,2)B.(0,1)C.(2,0)D.(1,0)答案D12.(2014课标Ⅰ,10,5分)已知抛物线C:y2=x的焦点为F,A(x0,y0)是C上一点,|AF|=x0,则x0=()A.1B.2C.4D.8答案A3.(2013江西,9,5分)已知点A(2,0),抛物线C:x2=4y的焦点为F,射线FA与抛物线C相交于点M,与其准线相交于点N,则|FM|∶|MN|=()A.2∶B.1∶2C.1∶D.1∶3答案C4.(2017山东,15,5分)在平面直角坐标系xOy中,双曲线-=1(a>0,b>0)的右支与焦点为F的抛物线x2=2py(p>0)交于A,B两点.若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为.答案y=±x5.(2014福建,21,12分)已知曲线Γ上的点到点F(0,1)的距离比它到直线y=-3的距离小2.(1)求曲线Γ的方程;(2)曲线Γ在点P处的切线l与x轴交于点A,直线y=3分别与直线l及y轴交于点M,N.以MN为直径作圆C,过点A作圆C的切线,切点为B.试探究:当点P在曲线Γ上运动(点P与原点不重合)时,线段AB的长度是否发生变化?证明你的结论.解析(1)解法一:设S(x,y)为曲线Γ上任意一点,依题意,得点S到F(0,1)的距离与它到直线y=-1的距离相等,所以曲线Γ是以点F(0,1)为焦点、直线y=-1为准线的抛物线,所以曲线Γ的方程为x2=4y.解法二:设S(x,y)为曲线Γ上任意一点,则|y-(-3)|-=2,依题意,知点S(x,y)只能在直线y=-3的上方,所以y>-3,所以=y+1,化简得,曲线Γ的方程为x2=4y.2(2)当点P在曲线Γ上运动(点P与原点不重合)时,线段AB的长度不变.证明如下:由(1)知抛物线Γ的方程为y=x2,设P(x0,y0)(x0≠0),则y0=,由y'=x,得切线l的斜率k=y'=x0,所以切线l的方程为y-y0=x0(x-x0),即y=x0x-.由得A.由得M.又N(0,3),所以圆心C,半径r=|MN|=,|AB|===.所以点P在曲线Γ上运动(点P与原点不重合)时,线段AB的长度不变.教师用书专用(6—7)6.(2013四川,5,5分)抛物线y2=8x的焦点到直线x-y=0的距离是()A.2B.2C.D.1答案D7.(2013课标全国Ⅰ,8,5分)O为坐标原点,F为抛物线C:y2=4x的焦点,P为C上一点,若|PF|=4,则△POF的面积为()3A.2B.2C.2D.4答案C考点二抛物线的几何性质1.(2016课标全国Ⅱ,5,5分)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,曲线y=(k>0)与C交于点P,PF⊥x轴,则k=()A.B.1C.D.2答案D2.(2015陕西,3,5分)已知抛物线y2=2px(p>0)的准线经过点(-1,1),则该抛物线焦点坐标为()A.(-1,0)B.(1,0)C.(0,-1)D.(0,1)答案B3.(2014安徽,3,5分)抛物线y=x2的准线方程是()A.y=-1B.y=-2C.x=-1D.x=-2答案A4.(2014辽宁,8,5分)已知点A(-2,3)在抛物线C:y2=2px的准线上,记C的焦点为F,则直线AF的斜率为()A.-B.-1C.-D.-答案C5.(2017天津,12,5分)设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l.已知点C在l上,以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若∠FAC=120°,则圆的方程为.答案(x+1)2+(y-)2=16.(2013福建,20,12分)如图,抛物线E:y2=4x的焦点为F,准线l与x轴的交点为A.点C在抛物线E上,以C为圆心,|CO|为半...
