课时素养评价十三基本不等式的应用(25分钟·50分)一、选择题(每小题4分,共16分,多项选择题全选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)1.(多选题)已知a>0,b>0,a+b=2,则对于+()A.取得最值时a=B.最大值是5C.取得最值时b=D.最小值是【解析】选A、D.因为a+b=2,令y=+=+=+++2≥+2=,当且仅当=且a+b=2,即a=,b=时,取“=”.2.某工厂第一年产量为A,第二年的增长率为a,第三年的增长率为b,这两年的平均增长率为x,则()A.x=B.x≤C.x>D.x≥【解析】选B.由条件知A(1+a)(1+b)=A(1+x)2,所以(1+x)2=(1+a)(1+b)≤,所以1+x≤1+,故x≤.3.已知正数x,y满足x+2y-xy=0,则x+2y的最小值为()A.8B.4C.2D.0【解析】选A.由x+2y-xy=0,得+=1,且x>0,y>0.所以x+2y=(x+2y)×=++4≥4+4=8.4.若对任意x>0,≤a恒成立,则a的取值范围是()A.B.C.D.【解析】选A.因为对任意x>0,≤a恒成立,所以对x∈(0,+∞),a≥,又因为x∈(0,+∞),所以=≤=,当且仅当x=1时等号成立,所以a≥.二、填空题(每小题4分,共8分)5.已知一次函数y=-x+1的图象分别与x轴、y轴相交于A,B两点,若动点P(a,b)在线段AB上,则ab的最大值是________,取得最大值时a的值为________.【解析】因为A(2,0),B(0,1),所以0≤b≤1,由题意得a=2-2b,ab=(2-2b)b=2(1-b)·b≤2·=.当且仅当1-b=b,即b=时等号成立,此时a=1,因此当b=,a=1时,ab的最大值为.答案:16.某公司一年需购买某种货物200吨,平均分成若干次进行购买,每次购买的运费为2万元,一年的总存储费用数值(单位:万元)恰好为每次的购买吨数数值,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则每次购买该种货物的吨数是________.【解析】设每次购买该种货物x吨,则需要购买次,则一年的总运费为×2=(万元),一年的总存储费用为x万元,所以一年的总运费与总存储费用为+x≥2=40(万元),当且仅当=x,即x=20时等号成立,故要使一年的总运费与总存储费用之和最小,每次应购买该种货物20吨.答案:20三、解答题(共26分)7.(12分)已知a>0,b>0,a+b=1,求证:(1)++≥8.(2)≥9.【证明】(1)因为a+b=1,a>0,b>0,所以++=2.所以+=+=2++≥2+2=4,所以++≥8(当且仅当a=b=时等号成立).(2)方法一:因为a>0,b>0,a+b=1,所以1+=1+=2+,同理1+=2+,所以==5+2≥5+4=9.所以≥9(当且仅当a=b=时等号成立).方法二:=1+++,由(1)知,++≥8,故=1+++≥9.当且仅当a=b=时取等号.8.(14分)如图,某村计划建造一个室内面积为800平方米的矩形蔬菜温室,温室内沿左右两侧与后墙内侧各保留1米宽的通道,沿前侧内墙保留3米宽的空地,当矩形温室的边长各为多少时,蔬菜的种植面积最大?最大种植面积是多少?【解析】设矩形的一边长为x米,则另一边长为米,因此种植蔬菜的区域宽为(x-4)米,长为米.由得410.即两次所得黄金数大于10g.2.(4分)已知正实数m,n满足m+n=1,且使+取得最小值.若x=,y=是方程y=xα的解,则α=()A.-1B.C.2D.3【解析】选B.+=(m+n)=1+++16=17++≥17+2=25当且仅当=,且m+n=1,即m=,n=时,上式取等号,即+取得最小值时,m=,n=,所以=,得α=.3.(4分)如图,有一张单栏的竖向张贴的海报,它的印刷面积为72dm2(图中阴影部分),上下空白各宽2dm,左右空白各宽1dm,则四周空白部分面积的最小值是________dm2.【解析】设阴影部分的高为xdm,则宽为dm,四周空白部分的面积是ydm2.由题意,得y=(x+4)-72=8+2≥8+2×2=56(dm2).当且仅当x=,即x=12dm时等号成立.答案:564.(4分)设a+b=2,b>0,则+取最小值时,a的值为________.【解析】因为a+b=2,所以+=+=+=++≥+2=+1,当且仅当=时等号成立.又a+b=2,b>0,所以当b=-2a,a=...
