2016-2017学年高中数学第一章推理与证明1归纳与类比课后演练提升北师大版选修2-2一、选择题1．数列2,5,11,20，x,47，…中的x等于()A．28B．32C．33D．27解析：∵5－2＝3,11－5＝6,20－11＝9，则x－20＝12,47－x＝15，所以x＝32，故选B.答案：B2．已知扇形的弧长为l，半径为r，类比三角形的面积公式：S＝，可推知扇形面积公式S扇等于()A.B.C.D．不可类比解析：将扇形的弧类比为三角形的底边，半径类比为三角形的高．所以S扇＝lr，故选C.答案：C3．下面使用类比推理恰当的是()A．“若a·3＝b·3，则a＝b”类推出“若a·0＝b·0，则a＝b”B．“(a＋b)c＝ac＋bc”类推出“＝＋(c≠0)”C．“(ab)n＝anbn”类推出“(a＋b)n＝an＋bn”D．“a(bc)＝(ab)c”类推出“a(bc)＝(ab)c”答案：B4．观察下列各式：55＝3125,56＝15625,57＝78125，…，则52011的末四位数字为()A．3125B．5625C．0625D．8125解析：∵55＝3125，56＝15625,57＝78125，58＝390625,59＝1953125，510＝9765625，…∴5n(n∈N，且n≥5)的末四位数是周期性变化，且最小正周期为4.记5n(n∈N，n≥5)的末四位数为f(n)，∴f(2011)＝f(501×4＋7)＝f(7)，∴52011与57的末四位数相同，为8125，故选D.答案：D二、填空题5．如下图所示是由火柴杆拼成的一列图形，第n个图形由n个正方形组成：1通过观察可以发现：第4个图形中，火柴杆有________________根；第n个图形中，火柴杆有________________根．解析：观察得递推关系式an－an－1＝3(n≥2，n∈N＋)．所以an＝3n＋1，∴a4＝13.答案：133n＋16．椭圆与双曲线有许多优美的对偶性质，如对于椭圆有如下命题：AB是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的不平行于对称轴且不过原点的弦，M为AB的中点，则kOM·kAB＝－，那么对于双曲线则有如下命题：AB是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的不平行于对称轴且不过原点的弦，M为AB的中点，则kOM·kAB＝________________.解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，则有(*)∵－＝1，－＝1，∴两式相减得＝，即＝，将(*)式代入，得·＝，即kOM·kAB＝.答案：三、解答题7．在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝，n∈N＋，猜想这个数列的通项公式(不需证明)．解析：an＋1＝，n∈N＋，a1＝1时，a2＝＝；a2＝时，a3＝＝＝；a3＝时，a4＝＝，…猜想{an}的通项公式为an＝.8．从y＝ax2与y＝a(x－h)2＋k的图像变换关系，类比谈谈函数y＝f(x＋a)＋b的图像是由y＝f(x)的图像如何得到的？解析：根据y＝ax2与y＝a(x－h)2＋k的顶点关系，我们可以发现将y＝ax2的图像向右(当h＞0时)或向左(当h＜0时)平移|h|个单位长度，再向上(当k＞0时)或向下(当k＜0时)平移|k|个单位长度，就得到y＝a(x－h)2＋k的图像．类比以上结论，函数y＝f(x＋a)＋b的图像是由y＝f(x)的图像沿x轴方向向左(当a＞0时)或向右(当a＜0时)平行移动|a|个单位长度，再沿y轴方向向上(当b＞0时)或向下(当b＜0时)平行移动|b|个单位长度所得．9．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如下图(1)(2)(3)(4)所示为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形．(1)求出f(5)的值；(2)利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出f(n＋1)与f(n)之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f(n)的表达式．解析：(1)f(5)＝41.2(2)因为f(2)－f(1)＝4＝4×1，f(3)－f(2)＝8＝4×2，f(4)－f(3)＝12＝4×3，f(5)－f(4)＝16＝4×4，……由上式规律，所以得出f(n＋1)－f(n)＝4n.因为f(n＋1)－f(n)＝4n⇒f(n＋1)＝f(n)＋4n⇒f(n)＝f(n－1)＋4(n－1)＝f(n－2)＋4(n－1)＋4(n－2)＝f(n－3)＋4(n－1)＋4(n－2)＋4(n－3)＝…＝f(1)＋4(n－1)＋4(n－2)＋4(n－3)＋…＋4＝2n2－2n＋13
