考点一直线与圆锥曲线的位置关系1．(2015·重庆，10)设双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，右顶点为A，过F作AF的垂线与双曲线交于B，C两点，过B，C分别作AC，AB的垂线，两垂线交于点D，若D到直线BC的距离小于a＋，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是()A．(－1，0)∪(0，1)B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．(－，0)∪(0，)D．(－∞，－)∪(，＋∞)解析由题意A(a，0)，B，C，由双曲线的对称性知D在x轴上，设D(x，0)，由BD⊥AC得·＝－1，解得c－x＝，所以c－x＝＜a＋＝a＋c，所以＜c2－a2＝b2⇒＜1⇒0＜＜1，因此渐近线的斜率取值范围是(－1，0)∪(0，1)，选A.答案A2．(2014·辽宁，10)已知点A(－2，3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为()A.B.C.D.解析 A(－2，3)在抛物线y2＝2px的准线上，∴－＝－2，∴p＝4，∴y2＝8x，设直线AB的方程为x＝k(y－3)－2①，将①与y2＝8x联立，即得y2－8ky＋24k＋16＝0②，则Δ＝(－8k)2－4(24k＋16)＝0，即2k2－3k－2＝0，解得k＝2或k＝－(舍去)，将k＝2代入①②解得即B(8，8)，又F(2，0)，∴kBF＝＝，故选D.答案D3．(2014·新课标全国Ⅱ，10)设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为()A.B.C.D.解析易知直线AB的方程为y＝(x－)，与y2＝3x联立并消去x得4y2－12y－9＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝3，y1y2＝－.S△OAB＝|OF|·|y1－y2|＝×＝＝.故选D.答案D4．(2013·大纲，8)椭圆C：＋＝1的左、右顶点分别为A1，A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA1斜率的取值范围是()A.B.C.D.解析如图：设直线A2M的方程为y＝－(x－2)＝2－x，代入椭圆方程＋＝1，并整理得7x2－16x＋4＝0，∴2＋x＝，∴x＝，∴M点坐标为.设直线A2N的方程为y＝－2(x－2)＝4－2x，同理可得N点坐标为， kA1M＝＝，kA1N＝＝.∴直线PA1斜率的取值范围是.答案B5．(2011·全国，10)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线y＝2x－4与C交于A，B两点，则cos∠AFB等于()A.B.C．－D．－解析联立不妨设A在x轴上方，则A(4，4)，B(1，－2)． F点的坐标为(1，0)，∴FA＝(3，4)，FB＝(0，－2)，∴cos∠AFB＝＝＝－.答案D6．(2015·山东，15)平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的渐近线与抛物线C2：x2＝2py(p＞0)交于点O，A，B.若△OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为________．解析由题意，不妨设直线OA的方程为y＝x，直线OB的方程为y＝－x.由得x2＝2p·x，∴x＝，y＝，∴A.设抛物线C2的焦点为F，则F，∴kAF＝. △OAB的垂心为F，∴AF⊥OB，∴kAF·kOB＝－1，∴·＝－1，∴＝.设C1的离心率为e，则e2＝＝＝1＋＝.∴e＝.答案7．(2012·浙江，16)定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离．已知曲线C1：y＝x2＋a到直线l：y＝x的距离等于曲线C2：x2＋(y＋4)2＝2到直线l：y＝x的距离，则实数a＝________.解析曲线C2到l的距离d等于圆心到直线的距离减去半径，即d＝－＝，所以曲线C1到l的距离为，则曲线C1与直线l不能相交，即x2＋a>x，∴x2－x＋a>0.设C1：y＝x2＋a上一点为(x0，y0)，则点(x0，y0)到直线l的距离d＝＝＝≥＝，所以a＝.答案8．(2015·浙江，19)已知椭圆＋y2＝1上两个不同的点A，B关于直线y＝mx＋对称．(1)求实数m的取值范围；(2)求△AOB面积的最大值(O为坐标原点)．解(1)由题意知m≠0，可设直线AB的方程为y＝－x＋b.由消去y，得x2－x＋b2－1＝0.因为直线y＝－x＋b与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点，所以Δ＝－2b2＋2＋＞0，①将AB中点M代入直线方程y＝mx＋解得b＝－②由①②得m＜－或m＞.(2)令t＝∈∪，则|AB|＝·.且O到直线AB的距离为d＝.设△AOB的面积为S(t)，所以S(t)＝|AB|·d＝≤.当且仅当t2＝时，等号成立．故△AOB面积的最大值为.9．(2015·江苏，18)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，且右焦点F到左准线l的距离为3.(1)求椭圆的标准方程；(2)过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC＝2AB，求直线AB的方程．解(1)由题意，...
