学业分层测评(二十二)数量积的坐标表示(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1．设a＝(1，－2)，b＝(3,1)，c＝(－1,1)，则(a＋b)·(a－c)等于________．【解析】a＋b＝(4，－1)，a－c＝(2，－3)，∴(a＋b)·(a－c)＝2×4＋(－1)×(－3)＝11.【答案】112．已知向量a＝(1，k)，b＝(2,2)，且a＋b与a共线，那么a·b的值为________．【解析】依题意得a＋b＝(3，k＋2)，由a＋b与a共线，得3×k－1×(k＋2)＝0，解得k＝1，所以a·b＝2＋2k＝4.【答案】43．(2016·南通高一检测)已知a＝(2,3)，b＝(－4,7)，则a在b上的投影为________.【导学号：06460065】【解析】 a＝(2,3)，b＝(－4,7)，∴a·b＝2×(－4)＋3×7＝13，|a|＝，|b|＝，∴cosθ＝＝，∴a在b上的射影为|a|cosθ＝×＝.【答案】4．已知向量a＝(1,1)，2a＋b＝(4,2)，则向量a，b的夹角为________．【解析】由于2a＋b＝(4,2)，则b＝(4,2)－2a＝(2,0)，则a·b＝2，|a|＝，|b|＝2.设向量a，b的夹角为θ，则cosθ＝＝.又θ∈0，π]，所以θ＝.【答案】5．(2016·南京高一检测)已知O是坐标原点，A，B是坐标平面上的两点，且向量OA＝(－1,2)，OB＝(3，m)．若△AOB是直角三角形，则m＝________.【解析】在Rt△AOB中，AB＝(4，m－2)，若∠OAB为直角时，OA·AB＝0，可得m＝4；若∠AOB为直角时，OA·OB＝0，可得m＝；若∠OBA为直角时，无解．【答案】或46．设a＝(4，－3)，b＝(2,1)，若a＋tb与b的夹角为45°，则实数t的值为________．【解析】a＋tb＝(4，－3)＋t(2,1)＝(4＋2t，t－3)，(a＋tb)·b＝(4＋2t)×2＋(t－3)×1＝5t＋5.|a＋tb|＝＝.由(a＋tb)·b＝|a＋tb||b|cos45°，得5t＋5＝·，即t2＋2t－3＝0，∴t＝－3或t＝1，经检验t＝－3不合题意，舍去．∴t＝1.【答案】17．已知a＝(4,2)，则与a垂直的单位向量b＝________.【解析】设b＝(x，y)，1则由得或【答案】或8．(2016·盐城高一检测)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)，若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c＝________.【解析】不妨设c＝(m，n)，则a＋c＝(1＋m,2＋n)，a＋b＝(3，－1)，对于(c＋a)∥b，则有－3(1＋m)＝2(2＋n)．又c⊥(a＋b)，则有3m－n＝0，∴m＝－，n＝－，∴c＝.【答案】二、解答题9．已知a＝(4,3)，b＝(－1,2)．(1)求a与b的夹角的余弦；(2)若(a－λb)⊥(2a＋b)，求实数λ的值．【解】(1) a·b＝4×(－1)＋3×2＝2，|a|＝＝5，|b|＝＝，∴cos〈a，b〉＝＝＝.(2) a－λb＝(4＋λ，3－2λ)，2a＋b＝(7,8)，又(a－λb)⊥(2a＋b)，∴(a－λb)·(2a＋b)＝7(4＋λ)＋8(3－2λ)＝0，∴λ＝.10．已知a＝(1,2)，b＝(1，λ)，分别确定实数λ的取值范围，使得：(1)a与b的夹角为直角；(2)a与b的夹角为钝角；(3)a与b的夹角为锐角．【解】设a与b的夹角为θ，|a|＝＝，|b|＝，a·b＝(1,2)·(1，λ)＝1＋2λ.(1)因为a与b的夹角为直角，所以a·b＝0，所以1＋2λ＝0，所以λ＝－.(2)因为a与b的夹角为钝角，所以cosθ<0且cosθ≠－1，即a·b<0且a与b不反向．由a·b<0，得1＋2λ<0，故λ<－，由a与b共线，得λ＝2，故a与b不可能反向，所以λ的取值范围为.(3)因为a与b的夹角为锐角，所以cosθ>0且cosθ≠1，即a·b>0且a，b不同向．由a·b>0，得λ>－，由a与b同向，得λ＝2，所以λ的取值范围为∪(2，＋∞)．能力提升]1．(2016·泰州高一检测)已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b，若b·c＝0，则t＝________.【解析】 |a|＝|b|＝1，〈a，b〉＝60°，∴a·b＝，|b|2＝1， b·c＝ta·b＋(1－t)b2＝t＋(1－t)＝1－t＝0，∴t＝2.【答案】22．以原点O及点A(5,2)为顶点作等腰直角三角形OAB，使A＝90°，则AB的坐标为________．【解析】设AB＝(x，y)，由|OA|＝|AB|，得＝.①由OA⊥AB，得5x＋2y＝0②联立①②，解得x＝－2，y＝5或x＝2，y＝－5.故AB＝(－2,5)或AB＝(2，－5)．【答案】(－2,5)或(2，－5)23．如图243，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若AB·AF＝，则AE·BF的值是________．图243【解析】以A为坐标原点，AB，AD所在直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(，0)，E(，1)，F(x,2)．故AB＝(，0)，AF＝(x,2)，AE＝(，1)，BF＝(x－，2...
